第１７回 ２変数関数の極値

第１７回　２変数関数の極値

１変数関数の時に極値（極大値、極小値）の話をしました。

f(x)がx=aで極大であるとは、aの近傍でf(x)<f(a)となることで、x=aで極小であるとは、x=aの近傍でf(x)>f(a)であること。

つまり、

　　

となる正の数δが存在するとき、x=aで極大であるといい、、f(a)を極大値という。

で、

　　

となる正の数δが存在するとき、x=aで極小であるといい、f(a)を極小値という。

これを２次元に拡大すると、２変数関数の極値（極大値、極小値）の定義は次のようなります。
　　

となる正の数δが存在する時、f(x,y)は(a,b)で極大であるといい、f(a,b)を極大値という。
　　

となる正の数δが存在する時、f(x,y)は(a,b)で極小であるといい、f(a,b)を極小値という。

ちなみに、

　　

１変数関数f(x)のとき、f(x)が微分可能であれば、x=aで極値になる時、

　　

になる。

であるならば、２変数関数f(x,y)のとき、f(x,y)が偏微分可能であれば、(x,y)=(a,b)で極値になる時、

　　

と考えるのは人情というもの。

そして、この予測は正しい。

定理
関数f(x,y)は点(a,b)で極値をとり、かつ偏微分可能であるとする。この時、
　　
である。

 

【証明】

y=bで固定し、φ(x)=f(x,b)とする。このとき、x=aのときφ(x)は極値をとるので、φ'(a)=０である。すなわち、

　　

x=aで固定し、ψ(y)=f(a,y)とすれば、

　　

よって、

　　

ところで、「f'(a)=0だから、x=aで極値になるとは限らない」という話を１変数の時にした。その代表的な例が

　　

だ。

　　

になるので、x=0のとき、f'(0)=0になる。
でも、は単調増加なので、x=0のとき、極大でも極小でもない。

これと同じように、
　　
だからと言って、f(a,b)が極値になるとは限らない。

これはf(x,y)が点(a,b)で極値をとるための必要な条件だけれども、十分な条件ではないんだ。

例として、

　　

という関数がある。

　　

だから、点(0,0)で

　　

になる。
３次元なのでちょっとわかりにくいと思うんだけれど、こんな感じの図形になって、(0,0)のとき、極値にならない。

なのだけれど、

例２

　　

のときは、(0,0)で極小になるゃ。
このことは、

　　
だから、わかると思う。
ちなみに、この関数のグラフは次のようになる。



　
　　
との前の符号が「＋」か「−」で、極値の有る無しが別れてしまう。２変数関数の極値は、結構、厄介。
１変数関数の時、

　　
という話をした。
これと同じように、２変数の場合も、２階の偏微分を使って極値の有る無し、極大・極小の判定ができる。

このことを次回にやる。

ちなみに、
　　
となる点(a,b)のことを停留点と言うにゃ。
停留点だけれど、極値にならない点を鞍点という。

　　
のグラフは何気なく鞍みたいだにゃ(^^)