お前らに質問（１２月０６日 微分） [お前らに質問]
お前らに質問（１２月０６日 微分）
ddt³さんが提出した微分の定義をまず紹介。
関数f(x)が点xで
を満たす定数Aが存在するとき、関数f(x)は点xで微分可能という。
さてさて、
お前らには、この定義にしたがって、次の定理を証明してもらおうか。
問題 次の定理を証明せよ。
定理 関数f(x)が点xで微分可能ならば、f(x)は点xで連続である。
連続の定義がわからないというふざけた奴がいるかもしれないので、
であるとき、関数f(x)は点xで連続であるという。
要するに、（１）から
あるいは、
などを導けってわけ。
言っておくけれど、
かどうかはわからないし、そもそも、
なんて極限が存在するかどうかもわからないので、
といったことが許されるかどうかも不明だケロよ。
だから、証明では、この点に留意すること。
こんなのはちょろいぜというヤツは、さらに、ε−δ（いぷしろん・でるた）論法を使って、この定理を証明し、その証明をこの記事のコメントに書き込んで、ネムネコのもとに送信するように。
首を長くして、お待ちしております。
お前らに質問（１２月０５日 定積分の近似値） [お前らに質問]
お前らに質問（１２月０５日 定積分の近似値）
ちょっとお前らに質問なんだけれど、お前ら、次の広義積分を台形公式を用いて計算するとしたらいいと思うにゃ。
念のために、台形公式
ネムネコは、
や
などと書くほうが好きだけれど・・・。
問題 次の広義積分の近似値を台形公式（シンプソン法でもいいが…）を用いて求めよ。
この広義積分の値は、
になるんだけれどさ。
こういった積分の近似値を求める数値計算法ってのはあることはあるんだけれど、そんなものに頼らずに、なんとか知恵を振り絞って、この値を求めて欲しいにゃ。
ちなみに、ネムネコが思いついた方法によると、１６分割くらいで、こんな値が出るにゃ。
コンピュータのパワーにものをいわせ、計算領域を[0,1000]にし、これを１０万分割くらいし、この近似値を求めるってのでもいいけれど（笑）。
すると、こんな値になるそうだにゃ。
なお、この計算は、
http://nemneko.blogspot.com/2016/11/blog-post_14.html
でしたにゃ。
言っておくけれど、
だから、
となるので、この右辺の近似値を台形公式で求める、
なんてことをやったら、ぬっ殺すにゃ。
だったら、適当な変数変換を行って、積分範囲を有限な積分範囲にすればいいんじゃないかい。
また、
とおくと、x=0にはθ=0、x=∞にはθ=π/2が対応し、
なので、
したがって、
に台形公式を適用すれば…、なんてのも無しだケロよ。
こういう不逞な輩は、
この変換を使って、
次の広義積分の近似値を、台形公式を用いて求めるケロ。
お仕置き問題 次の広義積分の近似値を台形公式を用いて求めよ。
ネムネコが、月にかわって、お仕置きだにゃ。
積分区間を４等分に分割するくらいで、２％くらいの誤差でこの無限積分の近似値を求められるにゃ。
嘘じゃないケロよ。
これがその証拠！！
お前らに質問（１２月０３日 定積分）の解答例 [お前らに質問]
お前らに質問（１２月０３日 定積分）の解答例
１２月３日に出題した問題だけだとつまらないのでｌ問題を追加し、あわせて、その解答を示すにゃ。
問題 次のことを証明せよ。ｌ
（１） f(x)が[a,b]でC¹級ならば
（２） f(a)=f(b)=0、かつ、[a,b]で｜f’(x)｜≦Mならば
【解答例】
（１） 部分積分すると
（２） f(a)=f(b)=0だから、（１）より
また、
だから、
（解答例終）
なお、
（２）では、
が直線
に関して対称であることを利用し、
として計算しているけれど、
として計算してもいいし、
この積分の値は底辺の長さがb−aで高さが
の三角形の面積に等しいという幾何学的な意味を考え、
と計算してもいいだろう。
ところで、
問題１の（１）より
したがって、
仮定より、f'(x)は[a,b]で連続であり、また、
であるので、
積分の第１平均値の定理より、
が成立し、
これが台形公式の誤差（の限界？）を与える式になるはずである。
一方、
という誤差の評価式もある。
もちろん、（１）ではf(x)はC¹級、（２）ではC²級という違いがあるけれど、誤差の評価式が２つもあると、どちらを信用すべきかわからず、困ったものである。
お前らに質問（１２月０３日 定積分） [お前らに質問]
お前らに質問（１２月０３日 定積分）
お前ら、次の問題を解くにゃ。
問題 f(x)が[a,b]でC¹級（f(x)の導関数f'(x)が[a,b]で連続）であるとき、次の関係が成り立つことを示せ。
よくわからないけれど、
この式から
となって、
ねこ騙し数学で取り上げた、台形公式の誤差を与える式みたいなものになり、何か意味深な式になるにゃ(^^ゞ。
ちょっと書いてみただけだケロ。深く考えてはいけないにゃ。
お前らに質問（１２月１日 不等式） [お前らに質問]
お前らに質問（１２月１日 不等式）
ものすごく初歩的な内容なのだけれど、お前ら、次の不等式をどうやって解くにゃ。
【解答（？）】
x+1>0のとき、⑨の両辺にx+1を掛けると、
x+1<0のとき、⑨の両辺にx+1を掛けると、
よって、解は(・・?
【解答（？）終】
これは一体どういうことだ！！
困ったケロね〜(^^)。
というわけで、この難解な不等式⑨をお前らに解いてもらおうじゃないか。
不等式
の解は、難しすぎるかもしれないので、方程式
の場合はどうケロか？
x+1を両辺に掛けると、
もしこれが成立するならば、
となり、自然数はすべて０に等しいという新事実を発見！！ということになるにゃ（笑）。
まぁ、⑨²の場合、方程式
が解を持つとすると、0=1となり、矛盾するので、方程式⑨²は解を持たない、つまり、
ということになるのですがね。
お前らへの質問の解答？ （１１月２４日 不定積分） [お前らに質問]
お前らへの質問の解答？ （１１月２４日 不定積分）
さて、お前らへの質問についての解答を教えるにゃ。
不定積分は定数の違いを無視して同じものとみなすので、
でも、
のどちらでも構わないんだケロ。
現に、（１）の右辺に２を加えると、
になるからね。
追加問題
と変形することし、次の不定積分を求めよ。
【解】
（１）
ここで、t=cosxとおくと、
だから、
（２）
（３）
（解答終）
（３）より、
したがって、
発展問題 次の不定積分を求めよ。
【解答】
とおくと、
a²>1、a≠0のとき
このまま続けると見通しが悪いので、
と置き、置換積分を適用すると、
（解答終）
ということで、
という不定積分は、aの値によって、その形が大きく変わるんだにゃ。
追加問題２ 次の問に答えよ。
（１） 次の定積分の値を求めよ。
（２） （１）の結果を利用して、次の定積分の値を求めよ。
【解】
（１） 
とおくと、
よって、
（２） 
と置き、置換積分を適用すると、
（解答終）
また、（１）より
追加問題の手法に習って、
ちなみに、
ではあるが、この結果を用いると
だから…。
だから、
はいいとしても、
の値は存在するのか、存在したとして、その値はいくつなのだろう？
みんな大好き、ロピタルの定理を使えば、
となるが、このブログでは、ロピタルの定理の使用は御法度！！
もっと、プリミティブな考え方をすれば、xが0に限りなく近いとき、
ではあるのだが・・・。
（２）の定積分においても、
となり、同種の問題が発生する。
というわけで、おまえら、次の問題を解くように。
問題 ロピタルの定理を使わず、次の極限を求めよ。
下のグラフを見ると、
x軸にπ/2平行移動すると、この曲線は重なりそうな気が…。
オレは、優しすぎるね〜。
ちょっとお前らに甘すぎるにゃ。
そう思わない？
お前らにヒント！！ [お前らに質問]
ちょっと、お前らにヒントを！！
問 次の不定積分を求めよ。
【答（？）】
【答（？）終】
コレは正しいかい？
問の答は
なのでは？
お前らに質問（１１月２４日 不定積分） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月２４日 不定積分）
この問題は、「お前らに解いてもらおうか」と思ったのだけれど…。
問題 aを実数の定数とするとき、次の不定積分を求めよ。
【解答】
とおくと、
a²>1、a≠0のとき
a=0のとき、
a=1のとき
（解答中止！！）
「符号にマイナスがついているケロ！！間違っているんじゃないか？」と、強い不安に襲われる。
そこで、某ソフトに、この計算をお願いしたところ、
という答がかえってきた。
「やっぱ、間違っているじゃないか！？」
しかし、いくら考えても間違いを見つけられない。
――だって間違ってねぇもん！！いくら計算を見返したって、間違いを見つけられるはずがない！！！――
と同時に、オレは、こんな計算もできないのかと思い切り凹む。
――凹んだのは事実だけれど、「一致しないのは、アレだからだな」とニヤつく。と同時に、新たな疑問が…――
さて、お前らには、ネムネコが陥った絶体絶命の窮地から、ネムネコを見事救ってもらおうじゃないか。
また、
a=−1のとき、すなわち、
あるいは、
の不定積分を求めるにゃ。
追加問題
と変形し、次の不定積分を求めよ。
要するに、一見簡単そうに見える
という不定積分は、aの値によって、その姿を大きく変えるのであった。
意欲的な――己の身の程を弁えない(・・?――奴は、次の不定積分を求めるといいケロ。
発展問題 次の不定積分を求めよ。
一般の0<a²<1だと難しいかもしれないので、
を求めるケロ！！
一般の場合よりも、返って、こちらの方が面倒かもしれないが(^^)。
さらに追加問題！！
追加問題２ 次の問に答えよ。
（１） 次の定積分の値を求めよ。
（２） （１）の結果を利用して、次の定積分の値を求めよ。
お前らに質問の解答例（１１月１４日と１１月２０日） [お前らに質問]
お前らに質問の解答例
１１月１４日出題 ２次方程式
問題 方程式ax²−x+1=0（aは実数）が解をもつとき、１つの実根は２より大きくない正の根であることを示せ。
【解答例】
a=0のとき
方程式は−x+1=0で、解はx=1≦2。
a≠0のとき
２次方程式ax²−x+1=0は実根を持つので、
f(x)=ax²−x+1とおくと、
よって、方程式f(x)=0は0<x≦2に解をもつ。
（解答終）
ちなみに、a=1/4のとき、x=2の重根だケロよ。
１１月２０日出題 円の方程式
問題１ a≠0とする。点(0,a)を中心とし、x軸に接する円の方程式を求め、それを極座標表示の方程式（極方程式）に書き換えよ。
【解答例】
点(0,a)を中心とし、x軸に接する円の方程式は
を代入すると、
とすると、
より、
a>0のとき、0≦θ≦π
a<0のとき、π≦θ≦2π
a>0、a<0のいずれの場合も、r=0、すなわち、原点は、曲線上の点になるので、
（解答終）
問題２ 点(a,b)を通り、x軸となす角がαである直線の極方程式を求めよ。
【解答（？）例】
α=π/2のとき、デカルト直交座標系における直線の方程式は
を代入すると、
また、r≧0より、
a≠π/2のとき、デカルト直交座標系における直線の方程式は
これに、を代入すると、
よって、
（解答例（？）終）
となるθが存在しなければ、確かに、⑨はα≠π/2のときの極方程式（のすべて）になる。
しかし、となるθが存在すると…。
この場合について、お前ら、考えるにゃ。
cosθ≠0の場合、
となりますが…。
いつも、思うが、オレは優しすぎるね。
そして、この優しさは、お前らから考える機会を奪うことになるので、罪だケロね。
「美しきもの」の例として、さらに、
お前らに質問（１１月２１日 数列） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月２１日 数列）
さてさて、お前らに次の問題を解いてもらおうじゃないか。
問題 次のことを示せ。
（１） x>0のとき
（２） 
とするとき、
が単調増加数列であることを示せ。
ただし、（１）を証明するのに、微分積分の知識を使っちゃ〜ならないものとする。
が単調増加数列であることを示すには、２項定理を使って、
と
をそれぞれ展開した
と、
とを比較し、大小関係を判定するのが一般的で、
を展開した奴は、のそれよりも、第３項以上が大きく、しかも、項数が１つ多いので、
となる。
なのですが、
問題の（１）の不等式をうまく活用すると、が単調増加であることを示すことができる。
とはいえ、
こんなものはそうそう思いつけるものでないから、心優しいネムネコは例によってヒントを出してやるにゃ、
と置き、あとは、うまく式を変形する。
これを思いつくには、ハッキリ言って、電波が必要だね。
解けた奴は、この記事のコメント欄に回答を書き、ネムネコのところに送信するように！！
正しかろうが、間違っていようが、それを清書した上、このブログの記事としてアップするにゃ。
