無限級数

無限級数

 

 

数列が与えられたとき、

　　

とおく。

数列が収束するとき、級数は収束するという。

また、を級数の和といい、と表す。

すなわち、

任意の正数ε>0に対し、ある自然数Nが存在し、

　　

また、収束しないを発散級数という。

 

 

が収束するとき、は絶対収束するという。は収束するが絶対収束しないとき、は条件収束するという。

 

 

特に、が等比数列

　　

であるとき、部分和は

　　

になるので、｜r｜<1のとき

　　

は収束し、それ以外では発散する。

 

無限級数の定義とコーシーの収束条件から、ただちに、次のことが言える。

 

 

定理１　（無限級数の収束に関する必要十分な条件）

級数が収束するための必要条件は、任意のε>0に対し、次の自然数Nが存在することである。

　　

 

 

定理２

が収束するならば、である。

【証明】

が収束するので、定理１より、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在し、

　　

m=n+1とおくと、任意のε>0に対し、

　　

よって、

（証明終）

 

【別証】

　　

とおくと、

仮定より、は収束するので、とおくと、

　　

（別証終）

 

 

定理２の系

ならばは発散する

 

 

定理２の逆、つまり、「ならばは収束する」は一般に成り立たない。

たとえば、であるがは収束しない。

 

 

問１　が収束しないことを示せ。

【解】

ε=1/2>0とすると、どのような自然数Nに対しても、m=2n>n≧Nにとると、

　　

よって、は収束しない。

（解答終）

 

 

定理３

λ、μを実数とする。

がともに収束するならば、も収束し、

　　

【証明】

λ=μ=0のときは、明らか。

同時にλ=0、μ=0でないものとする。

は収束するので、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在して

　　

よって、三角不等式から、

　　

（証明終）

 

 

問２　次の無限級数の和を求めよ。

【解】

（１）

　　

｜a｜<1だから、

よって、

　　

したがって、は収束し、

　　

 

（２）　とおくと、

　　

よって、

　　

したがって、

　　

よって、

　　

 

（３）

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

 

定理４

が絶対収束すれば、は収束する。

【証明】

が絶対収束する、すなわち、が収束するので、定理１より、任意の正数ε>0に対して、ある自然数Nが存在し、

　　

よって、が絶対収束すれば、は収束する。

（解答終）

 

問３　は収束するが、絶対収束しない（無限）級数の例を１つあげよ。

 

数列の極限その２

数列の極限その２

 

 

§２　部分列

 

φをからへの狭義単調増加関数（n₁<n₂ならばφ(n₁)<φ(n₂))とする。数列が与えられたとき、数列を数列の部分列という。

 

定理８　（部分列の収束）

収束する数列の部分列はの極限値に収束する。

すなわち、

　　

【証明】

数列の極限値をαとすると、任意の正数εに対して、ある自然数Nがあって、

　　

である。

φ(n)≧nなので、

　　

よって、収束する数列の部分列はの極限値に収束する。

（証明終）

 

定理９　（Boltano-Weiestrassの定理）

有界な数列は、収束する部分列をもつ。

【証明】

数列は有界とすると、ある実数m₁とM₁が存在し、

　　

である。

ここで、

　　

とおくと、閉区間[m₁,c₁]、[c₁,M₁]を作ると、少なくともどちらか一方に無数のが存在する。

もし、[m₁,c₁]に無数のが存在すれば、

　　

そうでないとき、

　　

と置く。

以下、同様な操作をし、

　　

とすると、を構成する。

すると、

　　

であるから、

　　

したがって、とおくと、カントールの区間縮小法（定理７）を満たしており、ある実数cが存在し、

　　

各区間には無数のの項が含まれていたから、自然数を項とする狭義単調増加数列を、各自然数kに対して

　　

となるように選ぶことができる。

このとき、

　　

であるから、ハサミ打ちの定理より

　　

（証明終）

 

 

§３　コーシー列

 

数列が任意の正数εに対して、ある自然数Nが存在し、n≧N、m≧Nを満たす任意の自然数m、nに対して

　　

が成り立つとき、はコーシー列であるという。

 

定理１０　（コーシー列の有界性）

コーシー列は有界である。

【証明】

数列はコーシー列であるとする。ε=1とすれば、ある自然数Nが存在し、

　　

となる。

m=Nとすると、

　　

となるから、

　　

そこで、

　　

とおけば、任意の自然数nに対して、

　　

よって、数列は有界である。

（証明終）

 

定理１１　（コーシーの収束条件）

数列が収束するための必要十分条件は、コーシー列であることである。

【証明】

数列が実数αに収束するとする。

任意の正数εに対して、ある自然数Nがあって、

　　

が成り立つ。

したがって、m≧N、n≧Nならば、

　　

となり、はコーシー列である。

逆に、がコーシー列であるとする。

数列は、コーシー列なので有界だからBoltzano-Weirstrassの定理より、収束する部分列をもつ。

ε>0を任意の正数とする。はコーシー列なので、ある自然数N₁が存在して、

　　

が成立する。

また、ある自然数Kが存在して、

　　

が成り立つ。

ここで、自然数k₀をk₀≧Kかつを満たすように１つに固定し、N=N₁とおけば、

　　

よって、はαに収束する。

（証明終）

 

 

数列の極限

数列の極限

 

 

§１　数列の極限

 

定理０　任意の正数ε>0に対して、

　　

ならば、a=0である。

【証明】

a>0とすると、a/2>0。

εは任意の定数なので、ε=a/2>0とおくと、

　　

となり矛盾。したがって、a=0である。

（証明終）

 

 

自然数全体の集合から実数全体の集合への写像

　　

を（実）数列と言い、、あるいは、単にで表す。

数列において、任意の正数εに対して、適当な自然数Nを選ぶと、n≧Nのすべての自然数nについて、

　　

となるとき、

　　

であらわし、数列はαに収束するという。また、αを数列の極限値という。

すなわち、

　　

であるとき、

　　

と表す。

 

定理１　（極限値の一意性）

数列が収束するならば、その極限値は１つである。

【証明】

実数αとβを数列の極限値とする。

αとβはの極限値なので、任意の正数εに対し、

　　

となる自然数N₁、N₂が存在する。

そこで、とおくと、n≧Nならば、三角不等式より、

　　

εは任意の正数なので、α−β=0、すなわち、α=βとなる。

（証明終）

 

 

定理２　（数列の極限の公式）

とするとき、次のことが成り立つ。

【略証】

（１）　c=0のときは明らか。

c≠0のとき、だから、任意の正数εに対して、ある自然数Nが存在し、

　　

よって、

　　

 

（２）　だから、任意のε>0に対して、ある自然数N₁、N₂があって、

　　

よって、とおくと、

　　

 

（３）　任意のε>0に対し、

　　

とすると、ある自然数Nが存在して、

　　

したがって、

　　

 

（４）　任意のε>0に対して、

　　

とおくと、ある自然数Nが存在して、

　　

となる。

このとき、

　　

よって、

　　

したがって、

　　

ゆえに、（３）より

　　

 

（５）　だから、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在し、

　　

三角不等式より、

　　

したがって、数列がαに収束するとき、数列も収束し、

　　

（証明終）

 

 

定理３　（ハサミ打ちの定理）

数列に対して、

　　

が成り立ち、

　　

とする。このとき

　　

である。

【証明】

数列はαに収束するので、任意の正数εに対して、ある自然数N₁があって、

　　

数列はαに収束するので、任意の正数εに対して、ある自然数N₂があって、

　　

とおくと、n≧Nならば、

　　

よって、

　　

（証明終）

 

定理４　（数列の大小と極限）

数列は収束し、

　　

が成り立つならば、

　　

が成り立つ。

【証明】

とし、α>βと仮定する。

数列はαに収束するので、に対して、ある自然数N₁があって、n≧N₁ならば、

　　

数列はβに収束するので、に対して、ある自然数N₂があって、n≧N₂ならば、

　　

したがって、とおくと、n≧Nならば、

　　

となり、矛盾する。

よって、α≦βである。

（証明終）

 

 

数列のすべての元について、nによらない正の定数Mがあって、

　　

となるとき、数列は有界であるという。

 

定理５　（収束する数列の有界性）

収束する数列は有界である。

【証明】

数列が実数αに収束するとすると、ε=1に対して、あるNが存在して、

　　

である。

そこで、nによらない正の定数Mを

　　

とおくと、

　　

である。

また、n≧Nに関しては

　　

よって、すべての自然数nについてが成り立つので、数列は有界である。

（証明終）

 

 

であるとき、数列は単調増加数列という。

であるとき、数列は単調減少数列という。

集合が上に有界なとき、数列は上に有界であるといい、集合が下に有界なとき、数列は下に有界であるという。

 

定理６　（単調数列の収束）

数列が単調増加かつ上に有界（単調減少かつ下に有界）ならばは収束する。

【証明】

上に有界な単調増加数列の場合について証明する。

数列は上に有界なので上限αをもつ（実数の連続性）。

上限の定義より、

（１）　すべての自然数nについて、

（２）　任意の正数εに対して、

　　

となるが存在する。

したがって、n≧Nであるすべてのnについて、

　　

よって、上に有界な単調増加数列は収束する。

（証明終）

 

 

定理７　（カントールの区間縮小法の原理）

閉区間がを満たすならば、

　　

である。

さらに、ならば、共通部分

　　

とただ１点からなり、である。

【証明】

条件より、

　　

である。

よって、数列は上に有界な単調増加数列、数列は下に有界な単調減少数列となり、定理６より収束する。

とおくと、より、α≦βである。

また、なので、

　　

である。

したがって、

　　

である。

また、より、α=β。

とすると、すべての自然数nに対して

　　

となるので、c=α。

よって、

　　

（証明終）

 

微分可能の新たな定義

微分可能の新たな定義

 

 

ddt³さんがランダウのO記号を使った微分の定義を提示したので、ネムネコはランダウのo記号を使った微分の定義を提示するにゃ。

 

f(x)を区間Iで定義される関数とし、a∈Iとする。

ある（１つの）定数Aがあって、

　　　　

であるとき、関数f(x)は点aにおいて微分可能といい、

　　

であらわす。また、を関数f(x)の点aにおける微分係数という。

 

【注意】

は、少なくともこの時点では、導関数の点aにおける値ではなく、（１）で定まる定数Aを

　　

とおいた単なる値に過ぎない。

 

 

f(x)が点aで微分可能であるとき、

（１）式は、任意のh≠0について成り立つので、

　　

h→0のとき、

　　

したがって、

　　

に収束する。

逆に、が収束するとき、とおき、

　　

とする。

h≠0のとき、

　　

が成り立つ。

h→0のとき、

　　

に収束するので、

　　

 

というわけで、

従来の微分可能の定義

　　

と、新しい微分可能の定義（１）はまったく同じもの、同値ということになる。

 

 

問１　実数全体の集合Rで定義された関数f(x)=x²は、Rで微分可能であることを示せ。

【解】

a∈Rとすると、

　　

2aは、hに無関係な定数で、また、o(h)=h²とおくと、

　　

よって、f(x)はRで微分可能である。

（解答終）

 

問２　実数全体の集合Rで定義された関数f(x)=x³は、Rで微分可能であることを示せ。

【解】

a∈Rとすると、

　　

3a²はhに無関係な定数なのでA=3a²、さらに、

　　

とおくと、

　　

このとき、

　　

よって、f(x)=x³はRで微分可能である。

（解答終）

 

ここまで読んだヒトは、おそらく、「o(h)はhの関数の意味だ」と思うに違いない。

しかし、o(h)として使われている記号o（ランダウのo記号という）は、いわゆる、関数でないことに注意。

 

ランダウのo記号の定義

　　

であるとき、

　　

と表す。

特に、のとき、

　　

と表す。

 

とすると、

　　

 

 

問３　α>1のとき、

　　

であることを示せ。

【解】

　　

（解答終）

 

そして、問３から多項式の最高次数を表すものでもないことがわかる。

 

問４　次のことを示せ。

【解】

（解答終）

 

 

さらに、

　　

であるとき、

　　

と表すと、約束する。

 

 

定理　（漸近展開）

f(x)が原点を含む区間で級であるとき、

　　

【証明】

マクローリン展開すると

　　

よって、x≠0のとき、

　　

ところで、f(x)は級なので

　　

よって、

　　

（証明終）

 

 

第５１回 定積分の応用 曲線の長さ

第５１回　定積分の応用　曲線の長さ

 

 

曲線の長さについて考える。

 

曲線弧ABは閉区間[a,b]で定義されるC¹級関数y=f(x)で与えられるとする。

まず、[a,b]の分割

　　

をとり、曲線y=f(x)上の点をで表す。を持つ切線をとり、この切線の長さの和を作ると

　　

全ての分割に関して、分割の幅｜Δ｜を限りなく小さくしたとき、この和がある１つの値に収束するならば、この極限値をもって曲線弧ABの長さと定義する。

切線の長さは

　　

仮定より、関数f(x)は[a,b]上で微分可能なので、平均値の定理より

　　

したがって、

　　

よって、

　　

仮定より、f'(x)は[a,b]で連続なので、｜Δ｜→0のとき、右辺のリーマン和は

　　

に収束する。

したがって、

　　

 

定理　（曲線の長さ）

f(x)を[a,b]でC¹級の関数とする。曲線y=f(x)のa≦x≦bの部分の弧の長さLは

　　

である。

 

定理の系　（媒介変数表示された曲線の長さ）

関数φ(x)、ψ(x)を[α,β]でC¹級とする。曲線x=φ(x)、y=ψ(t)（α≦t≦β）の長さは

　　

【略証】

　　　　

（略証終）

 

問１　次の曲線の流さを求めよ。

【解】

（１）　この曲線はy軸に関して対称

　　

だから、

　　

 

（２）　x軸、y軸に関して対称

　　

だから、

　　

 

 

（３）

　　　

 

（解答終）

 

 

問２　次の極座標表示された曲線の曲線の流さをもとめよ。

　　

【解】

だから、

　　

になる。

　　

弧の長さは、0≦θ≦πの部分の長さを２倍すればよいので、

　　

 

（解答終）

 

第４９回 定積分の応用 面積

第４９回　定積分の応用　面積

 

 

関数y=f(x)が閉区間[a,b]で連続、かつ、f(x)≧0とする。このとき、曲線y=f(x)、直線x=a、x=bとx軸で囲まれた部分の面積Sについて考える。

[a,b]の分割を

　　

とし、小区間のf(x)の最大値、最小値を、さらに、曲線y=f(x)≧0と２つの直線とx軸に囲まれた部分の面積をとすると、だから、

　　

だから、

　　

また、f(x)は[a,b]で連続なので積分可能だから、リーマン和の定義から、

　　

したがって、

　　

である。

 

 

 

 

同様に、関数x=g(y)が閉区間[c,d]で連続、かつ、g(x)≧0とするとき、曲線x=g(y)、直線y=c、y=bとy軸で囲まれた面積Sは

　　

である。

 

問１　次の曲線とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。

 

【解】

曲線とx軸で囲まれた面積をSとする。

 

（１）　y=sin xは閉区間[0,π]でy≧0なので、

　　

 

（２）　とx軸都の交点のx座標を求めると、x=0、x=1。また、[0,1]でy≧0なので

　　

とおき、置換積分を適用すると、x=1−t²、dx=−2tdtだから、

　　

（解答終）

 

 

問２　次の問に答えよ。

（１）　楕円の囲む面積を求めよ。

（２）　アステロイドの囲む面積を求めよ。

【解】

（１）　求める面積は第１象限の部分の面積の４倍。

第１象限ではy≧0だから

　　

よって、求める面積Sは

　　

とおくと、だから、

　　

特に、a=b>0であるとき、

　　

 

（２）　求めるべき面積は第１象限の部分の４倍。

第１象限ではy≧0だから

　　

よって、求める面積Sは

　　

とおくと、

　　

から、

　　

さて、

　　

だから、

　　

（解答終）

 

 

問３　次の曲線によって囲まれた面積を求めよ（a>0）。

（１）　サイクロイドとx軸

（２）　アステロイド

【解】

（１）　求める面積はで与えられる。だから

　　

 

 

（２）　求める面積は第１象限の部分の４倍なので。

また、だから、

　　

（解答終）

 

なお、（２）では、

　　

を使っている。

 

 

定理　（２曲線で囲まれた部分の面積）

閉区間[a,b]において、f(x)、g(x)は連続で、かつ、f(x)≧g(x)であるとき、２曲線y=f(x)、y=g(x)と、２直線x=a、x=bで囲まれた部分の面積Sは

　　

【証明】

[a,b]において、f(x)≧0、g(x)≧0とする。

このとき、曲線y=f(x)と２直線x=a、x=b、x軸に囲まれた部分の面積は

　　

曲線y=g(x)と２直線x=a、x=b、x軸に囲まれた部分の面積は

　　

であるから、

　　

[a,b]において、f(x)≧0かつg(x)≧0でないとき、適当な定数cを加えると、[a,b]においてy=f(x)+c≧0、y=g(x)+c≧0とすることができる。y=f(x)とy=g(x)で囲まれた部分の面積は、y軸の正の方向に平行移動しても、その値は変わらない。

したがって、

　　

（証明終）

 

 

問４　次の面積を求めよ。

（１）　２つのy=2x²−7x+8、y=−x²+5x−1で囲まれた面積

（２）　曲線y²=xと直線y=x−2とで囲まれた面積

【解】

（１）　y=2x²−7x+8とy=−x²+5x−1の交点のx座標は、

　　

より、x=1、x=3。

したがって、求める面積は

　　

 

 

（２）　方程式y²=xとy=x−2からxを消去すると、

　　

したがって、y²=xとy=x−2の交点のy座標はy=−1、y=2。

よって、曲線x=y²と直線x=y+2とで囲まれた面積は

　　

（解答終）

 

（２）は、y²=xをyについてy=±√xと解いて、

　　

と面積を求めることができるが、こうすると計算が少し大変。

 

また、公式（？）

　　

を使うと、定積分を計算することなく

　　

と解くこともできる。

 

 

第４７回 定積分の近似計算 その１

第４７回　定積分の近似計算　その１

 

 

§１　矩形公式

f(x)は[a,b]で連続とするとき、定積分

　　

または

　　

と近似する方法を矩形法、または、矩形公式と呼ぶ。

f(x)が[a,b]でC¹級であるとき、定積分を（１）、（２）で近似した誤差は、次式で与えられる。

　　

【証明】

部分積分と、x−a≧0、b−x≧0なので、定積分の第１平均値の定理より

　　

したがって、

　　

（証明終）

 

定積分の近似値を求めるとき、矩形公式がそのまま用いられることはなく、

　　

とし、閉区間[a,b]をと小区間に分割し、小区間に矩形公式（１）、（２）を用いた、次の複号矩形公式が用いられる。

　　

特に、[a,b]をn個の小区間に等分割した場合、すなわち、

　　

のとき、（３）、（４）式は次のようになる。

　　

 問　[0,1]を４等分し、（複号）矩形を用いての近似値を求めよ。

【解】

　　

したがって、

　　

 

（解答終）

 

（参考）

　　

 

なお、複号矩形公式の誤差は、

　　

とおくと、

　　

で与えられる。

 

【証明】

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

（証明終）

 

誤差の評価式は、[a,b]のn等分とするとき、

　　

となるので、分割数を１０倍にすれば（複号）矩形公式の誤差は約1/10になる。

 

右の図は、を（複号）矩形公式を用いて（近似）計算した結果を縦軸に誤差、横軸に分割数をとり示したものである。

分割数を１０倍にすると、誤差が1/10になっていることがわかる。

 

 

§２　台形公式

 

f(x)は[a,b]で連続とするとき、定積分

　　

と近似する方法を台形則、台形公式という。

 

をで近似したときの誤差は次式で与えられる。

　　

【証明】

に対して部分積分を用いると、

　　

また、x∈[a,b]において、(b−x)(x−a)≧0なので、積分の第一平均値の定理より

　　

これを代入すると、

　　

（証明終）

 

閉区間[a,b]をn等分し、

　　

とおき、各区間に台形公式を適用すると、

　　

となるので、

　　

f(x)が[a,b]でC²級であるとき、複合台形公式の誤差は

　　

と置いたとき

　　

で与えられる。

したがって、[a,b]をn等分すると、

　　

となるので、分割数nを１０倍にすると、台形公式の誤差はおよそ1/10²になる。

 

右の図は、台形公式を用いて

　　

を（近似）計算した結果を、横軸に分割数、縦軸に誤差をとり表したものである。

分割数を１０倍にすると、誤差が約1/100になっていることがわかる。

 

 

 

また、複号台形公式と複号矩形公式の間には

　　

という関係が成立する。

 

問　[0,1]を４等分し、台形公式を用いて の近似値を求めよ。

【解】

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

【別解】

§１の問より、

　　

だから、

　　

（別解終）

 

Γ(1/2)の値を求める

Γ(1/2)の値を求める

 

 

ガンマ関数

　　

nが自然数のとき、ガンマ関数の値は

　　

となるが、これだけでは、応用上、何かと不便なので、ガンマ関数の値

　　

を求めることにする。

 

ガンマ関数の定義式（１）より、

　　

x=t²とし置換積分すると、x=0にはt=0、x=∞にはt=∞が対応し、また、だから、

 　　

となるので、これは広義積分

　　

の値を求める問題に帰着することができ、

　　

になる。

 

２重積分の広義積分を用いると、

　　

であるから、

　　

x=rcosθ、y=rsinθと置き、極座標変換すると

　　

となるので、

　　

したがって、

　　

と求めることができる。

 

なのですが、

以下、

前回、証明したウォリスの公式を

　　

を用いて、Γ(1/2)=√πを求める方法を紹介することにする。

 

 

問題　を次の順に示せ。

【解】

（１）　x≧0とし、0≦t≦xとすると、は減少関数だから、

　　

したがって、

　　

左辺と中辺より、

　　

中辺と右辺より

　　

したがって、

　　

 

（２）　x=√ntとし、置換積分すると、dx=√ndtだから

　　

 

（３）　（１）より

　　

したがって、

　　

t=tanθとおくと、

　　

また、

　　

なので、

　　

また、nが偶数のとき

　　

だから、

　　

 

（４）　だから、

　　

また、（１）より

　　

したがって、

　　

t=sinθと置き、置換積分すると、dt=cosθdθだから、

　　

したがって、

　　

 

（５）　（３）と（４）より

　　

また、ウォリスの公式より

　　

したがって、ハサミ打ちの定理より

　　

（解答終）

 

よって、

　　

 

ガンマ関数の公式

　　

を用いると、

　　

したがって、一般に、

　　

ただし、0!=1とする。

 

 

ウォリスの公式

ウォリスの公式

 

 

ウォリスの公式

　　

 

ウォリスの公式を証明する前に、復習を兼ねて次の問題を解くことにする。

 

問題　とするとき、次のことを示せ。

【解】

（１）　とおき、置換積分すると

　　

 

（２）　部分積分を適用すると、

　　

（解答終）

 

問題１の（２）より、

nが偶数のとき

　　

nが奇数のとき

　　

となり、

　　

なので、

　　

あるいは、

nを正の整数のとするとき、

　　

 

 

問　上の結果を利用して、次の定積分の値を求めよ。

【解】

（解答終）

 

さて、これで準備が整ったので、次に、ウォリスの公式を証明する。

 

ウォリスの公式

　　

【証明】

0≦x≦π/2、nを正の整数とすると

　　

だから、

　　

したがって、

　　

したがって、

　　

が成り立つので、

　　

したがって、ハサミ打ちの定理より

　　

また、

　　

だから、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

 

第５０回 極方程式で表された曲線の面積

第５０回　極方程式で表された曲線の面積

 

 

定理　（極方程式で与えられた図形の囲む面積）

曲線Cが極座標を用いてr=f(θ)（α≦θ≦β）と表されていて、f(θ)は連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=α、θ=βで囲まれる部分の面積Sは

　　

である。

【証明】

閉区間[α,β]の分割

　　

をとり、曲線r=f(θ)と半直線に囲まれた微小部分を扇型で近似すると

　　

仮定より、f(θ)は[α,β]で連続なので、も[α,β]で連続。

したがって、｜Δ｜→0のとき、

　　

に収束する。

よって、

　　

（証明終）

 

 

 

問題１　次の方程式で表される曲線の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

r≧0だから、a>0のとき−π/2≦θ≦π/2、a<0のときπ/2≦θ≦3π/2。

したがって、

a>0のとき、この曲線が囲む面積Sは

　　

a<0のとき

　　

よって、

 

 

（解答終）

 

この曲線は、点(a,0)を中心とする半径｜a｜>0の円だから面積S=πa²！！

また、この曲線は、x軸に関して対称なので、この曲線の第１象限における面積を２倍することによって面積を求めることもできる。

すなわち、a>0のとき、

　　

また、a<0のときの曲線は、y軸に関してa>0のときの曲線に対称だから、その面積は等しい。

問題２　カージオイドの面積を求めよ。ただし、a>0とする。

【解】

r≧0だから、0≦θ≦2π。

よって、

　　

 

 

（解答終）

 

カージオイドはx軸に関して対称なので、対称性に注目し、

　　

と計算してもよい。

 

 

問題３　a>0とするとき、次の曲線（４葉線）の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

の両辺を２乗すると、

　　

曲線の対称性から、第１象限で囲まれた図形の面積を４倍すればよい。

したがって、求める面積Sは

　　

 

 

（解答終）

 

 

問題４　a>0とするとき、次の曲線（レムニスケート）の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

を代入すると、x²+y²=r²だから、

　　

r²≧0より、cos2θ≧0。

よって、−π≦θ≦πとすると、。

図形の対称性から第１象限で囲まれた部分の面積を４倍すればよい）。

　

（解答終）

 

 

問題５　a>0とするとき、次の曲線（デカルトの葉線）の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

を代入すると、

　　 

よって、求める面積Sは

　　

ここで、t=tanθとおくと、で、θ=0→t=0、θ=π/2→t→∞に対応するので、

　　

（解答終）

 

デカルトの葉線は直線y=xに対称なので、

　　

ここで、t=tanθとおくと、で、θ=0→t=0、θ=π/4→t=1に対応するので、

　　

としたほうがいいのだろう。

 

問題５の解答では、

「θ=0→t=0、θ=π/2→t→∞に対応する」にすこし”やましさ”がある。

正しくは、「θ=0→t=0、θ=π/2−0→t→∞に対応する」とすべきところだから。

 

y=xに関して対称なのは、x³+y³=3axyのxとyをyとxに入れ換えても同じ式になることからわかる。