数列の極限 [微分積分]
数列の極限
§１ 数列の極限
定理０ 任意の正数ε>0に対して、
ならば、a=0である。
【証明】
a>0とすると、a/2>0。
εは任意の定数なので、ε=a/2>0とおくと、
となり矛盾。したがって、a=0である。
（証明終）
自然数全体の集合
から実数全体の集合
への写像
を（実）数列と言い、
、あるいは、単に
で表す。
数列において、任意の正数εに対して、適当な自然数Nを選ぶと、n≧Nのすべての自然数nについて、
となるとき、
であらわし、数列はαに収束するという。また、αを数列の極限値という。
すなわち、
であるとき、
と表す。
定理１ （極限値の一意性）
数列が収束するならば、その極限値は１つである。
【証明】
実数αとβを数列の極限値とする。
αとβはの極限値なので、任意の正数εに対し、
となる自然数N₁、N₂が存在する。
そこで、
とおくと、n≧Nならば、三角不等式より、
εは任意の正数なので、α−β=0、すなわち、α=βとなる。
（証明終）
定理２ （数列の極限の公式）
とするとき、次のことが成り立つ。
【略証】
（１） c=0のときは明らか。
c≠0のとき、だから、任意の正数εに対して、ある自然数Nが存在し、
よって、
（２） だから、任意のε>0に対して、ある自然数N₁、N₂があって、
よって、とおくと、
（３） 任意のε>0に対し、
とすると、ある自然数Nが存在して、
したがって、
（４） 任意のε>0に対して、
とおくと、ある自然数Nが存在して、
となる。
このとき、
よって、
したがって、
ゆえに、（３）より
（５） だから、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在し、
三角不等式より、
したがって、数列がαに収束するとき、数列
も収束し、
（証明終）
定理３ （ハサミ打ちの定理）
数列
に対して、
が成り立ち、
とする。このとき
である。
【証明】
数列はαに収束するので、任意の正数εに対して、ある自然数N₁があって、
数列
はαに収束するので、任意の正数εに対して、ある自然数N₂があって、
とおくと、n≧Nならば、
よって、
（証明終）
定理４ （数列の大小と極限）
数列
は収束し、
が成り立つならば、
が成り立つ。
【証明】
とし、α>βと仮定する。
数列
はαに収束するので、
に対して、ある自然数N₁があって、n≧N₁ならば、
数列
はβに収束するので、に対して、ある自然数N₂があって、n≧N₂ならば、
したがって、とおくと、n≧Nならば、
となり、矛盾する。
よって、α≦βである。
（証明終）
数列のすべての元について、nによらない正の定数Mがあって、
となるとき、数列は有界であるという。
定理５ （収束する数列の有界性）
収束する数列は有界である。
【証明】
数列が実数αに収束するとすると、ε=1に対して、あるNが存在して、
である。
そこで、nによらない正の定数Mを
とおくと、
である。
また、n≧Nに関しては
よって、すべての自然数nについて
が成り立つので、数列は有界である。
（証明終）
であるとき、数列は単調増加数列という。
であるとき、数列は単調減少数列という。
集合
が上に有界なとき、数列は上に有界であるといい、集合が下に有界なとき、数列は下に有界であるという。
定理６ （単調数列の収束）
数列が単調増加かつ上に有界（単調減少かつ下に有界）ならばは収束する。
【証明】
上に有界な単調増加数列の場合について証明する。
数列は上に有界なので上限αをもつ（実数の連続性）。
上限の定義より、
（１） すべての自然数nについて、
（２） 任意の正数εに対して、
となる
が存在する。
したがって、n≧Nであるすべてのnについて、
よって、上に有界な単調増加数列は収束する。
（証明終）
定理７ （カントールの区間縮小法の原理）
閉区間
が
を満たすならば、
である。
さらに、
ならば、共通部分
とただ１点からなり、
である。
【証明】
条件
より、
である。
よって、数列は上に有界な単調増加数列、数列は下に有界な単調減少数列となり、定理６より収束する。
とおくと、
より、α≦βである。
また、
なので、
である。
したがって、
である。
また、より、α=β。
とすると、すべての自然数nに対して
となるので、c=α。
よって、
（証明終）
2019-12-16 22:00
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