第５１回 定積分の応用 曲線の長さ

第５１回　定積分の応用　曲線の長さ

 

 

曲線の長さについて考える。

 

曲線弧ABは閉区間[a,b]で定義されるC¹級関数y=f(x)で与えられるとする。

まず、[a,b]の分割

　　

をとり、曲線y=f(x)上の点をで表す。を持つ切線をとり、この切線の長さの和を作ると

　　

全ての分割に関して、分割の幅｜Δ｜を限りなく小さくしたとき、この和がある１つの値に収束するならば、この極限値をもって曲線弧ABの長さと定義する。

切線の長さは

　　

仮定より、関数f(x)は[a,b]上で微分可能なので、平均値の定理より

　　

したがって、

　　

よって、

　　

仮定より、f'(x)は[a,b]で連続なので、｜Δ｜→0のとき、右辺のリーマン和は

　　

に収束する。

したがって、

　　

 

定理　（曲線の長さ）

f(x)を[a,b]でC¹級の関数とする。曲線y=f(x)のa≦x≦bの部分の弧の長さLは

　　

である。

 

定理の系　（媒介変数表示された曲線の長さ）

関数φ(x)、ψ(x)を[α,β]でC¹級とする。曲線x=φ(x)、y=ψ(t)（α≦t≦β）の長さは

　　

【略証】

　　　　

（略証終）

 

問１　次の曲線の流さを求めよ。

【解】

（１）　この曲線はy軸に関して対称

　　

だから、

　　

 

（２）　x軸、y軸に関して対称

　　

だから、

　　

 

 

（３）

　　　

 

（解答終）

 

 

問２　次の極座標表示された曲線の曲線の流さをもとめよ。

　　

【解】

だから、

　　

になる。

　　

弧の長さは、0≦θ≦πの部分の長さを２倍すればよいので、

　　

 

（解答終）