第２０回 数列の極限とその定理 [微分]
第２０回 数列の極限とその定理
数列
自然数全体の集合をNで表す。すなわち、N={1, 2, 3, ・・・, n, ・・・}。
自然数Nから実数Rへの写像
を実数列、または、数列といい、記号
あるいは単に
で表す。これは実数を
と並べたものである。
数列の収束
数列が次の条件を満たすときα∈Rが存在するとき、はαに収束するという。
任意のε>0に対して、あるmが存在して、
である。
このとき、αを数列の極限値といい、
あるいは
と表す。
定理１ （数列の極限の一意性）
収束するの極限値は１つである。
【証明】
だから、任意のε>0に対して、ある正の整数m₁があって
また、
とすると、ある正の整数m₂があって
よって、m=max{m₁,m₂}とすると、任意のε>0に対して
となり、｜α–β｜=0となり、α=β。
よって、の極限値は１つである。
（証明終）
定理２ （収束数列の有界性）
収束する数列は有界である。
【証明】
とする。
ある１つの値にε>0をとると、ある正の整数mがあって、n>mならば
である。
そこで、
の最大値をMとすると、
よって、収束する数列は有界である。
（証明終）
定理３ （数列の極限の大小）
数列
は収束し、
であるならば、
である。
【証明】
とし、α>βと仮定する。
任意の
とおくと、
より、ある正の整数m₁があって
より、ある正の整数m₂があって
よって、m=max{m₁,m₂}にとると、n>mならば
となり、
に矛盾。
ゆえに、α≦βである。
（証明終）
定理４ （数列の極限の公式）
、λ、μを実数の定数とする。このとき、次が成り立つ。
定理５ （ハサミ打ちの定理）
すべての正の整数nについて
で、かつ、
ならば、
である。
【証明】
より、任意のε>0に対して、ある正の整数m₁があって、n>m₁ならば
より、任意のε>0に対して、ある正の整数m₂があって、n>m₂ならば
また、だから、m=mas{m₁,m₂}にとると、
よって、である。
（証明終了）
定理６ （有界な単調数列の収束性）
が単調増加数列かつ上に有界（単調減少数列かつ下に有界）ならばは収束する。
【証明】
上に有界な単調増加数列の場合について証明する。
は上に有界だから、上限αをもつ（実数の連続性）。
したがって、
で、かつ、任意のε>0に対して
であるmが存在する。
したがって、n>mならば
よって、
上に有界な単調増加数列は収束し、極限値はαである。
下に有界な単調減少数列の場合も同様。
（証明終）
定理７
とする。
ならば、
は収束し、
である。
【証明】
条件より、は上に有界な単調増加数列、
は下に有界な単調減少数列。よって、定理６より、は収束する。
とおくと、定理３よりα≦β。
よって
したがって、
で、より、β–α =0となり、α=βである。
【証明終了】
定理８ （区間縮小法）
閉区間の列
において
ならば、すべての閉区間に含まれる１点αが存在し、
である。
定理８は定理７より明らかだろう。
この問題を解くにゃ！！ [微分]
問題 次の不等式が成り立つことを証明せよ。
右辺と左辺の差をとり
の増減を、微分を使って、調べるのが正攻法だろう。しかし、それでは計算が少し大変。
そこで、できるだけ格好よく、上の不等式を証明して欲しいにゃ。
x²>0だから、
とし、
の増減を調べるというのもありだろう。こちらの方がf(x)の増減を調べるより、計算は簡単になる。
問題自体は簡単だけれど、腕の見せ所だにゃ。
ぜひ、挑戦して欲しいにゃ。
【謎の解法】
x=1のとき、等号が成立。
0<x<1のとき、t∈[x,1]で1/t≦1/x<1/x²だから
1<xのとき、t∈[1,x]で1/t≧1/x>1/x²だから、
よって、
等号成立はx=1のとき
（解答終）
実質、計算は２行で面倒な計算は一切していない！！
リプシッツ連続に関係がありそうな問題 [微分]
リプシッツ連続に関係がありそうな問題
リプシッツ連続
関数f(x)は区間Iで定義されているとする。このとき、任意のx₁、x₂∈Iに対して、ある実定数K≧0が存在して、
であるとき、f(x)はIでリプシッツ連続という。
リプシッツ連続に関係のありそうな問題を紹介する。
問題１ αを方程式x=f(x)の解とする。関数f(x)が微分可能で、0<｜f'(x)｜<1であるとき、x₂=f(x₁) (x₁≠α）は、x₁よりも方程式x=f(x)のいい近似解であることを証明せよ。
【解】
平均値の定理より、
であり、
だから、
（解答終）
問題１の条件では、x=f(x)の解はただ一つである。意欲のあるヒトはこの証明にチャレンジするとよい。
問題１とは、すこし条件が違うけれど、たとえば、
という方程式があるとする。
とすると、f(x)は微分可能で、
αを方程式x=f(x)の解とすると、
となり、
と逐次計算することによって、αという収束解を得ることができる。
x₁=0とし、１０回ほど反復計算すると、x=0.450184という近似解が得られる。
この計算に使用したC言語のプログラムと計算結果を参考までに紹介することにする。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
double f(double x) {
return 0.5*cos(x);
}
main() {
double x1, x2;
int i, n = 10;
x1=0.;
printf("n x1 x2\n");
for (i = 1; i <=n; i++) {
x2 = f(x1);
printf("%d %f %f\n", i , x1, x2);
x1=x2; //計算結果の更新
}
printf("x=%f\n", x2);
}
計算結果
n x1 x2
1 0.000000 0.500000
2 0.500000 0.438791
3 0.438791 0.452633
4 0.452633 0.449649
5 0.449649 0.450300
6 0.450300 0.450158
7 0.450158 0.450189
8 0.450189 0.450182
9 0.450182 0.450184
10 0.450184 0.450184
x=0.450184
問題２ f(x)は微分可能な関数で、任意の実数x,yについて次の関係式を満たしている。
このとき、f(x)を求めよ。
【解】
x≠yとする。
とおくと、
yを固定し、x→yのときのF(x)の極限を求めると、ハサミ打ちの定理より
よって、F'(x)は定数。この定数をCとおくと、
（解答終）
⑨から一気に⑨³を結論してもいいと思うけれど、また、f(x)は微分可能な関数という条件もいらないと思うけれど、念の為に、問題にはつけておいた。
問題３ 関数f(x)とその導関数f'(x)は、任意の実数x₁、x₂に対して、次の関係を満たしている。
（１） このとき、
（２） f(x)は１次式で表されるかまたは定数である。
【解】
（１）
任意の実数x₁、x₂に対して問題の不等式は成り立つので、問題の条件の不等式のx₁、x₂を入れ替え
よって、
x₁≠x₂のとき、(A)式の両辺を｜x₁–x₂｜≠0で割り
x₁=x₂のとき
よって、証明された。
（２） x₁≠x₂とする。
任意のx₂に対してf''(x₂)=0だから、f(x)は一次式で表されるか定数である。
（解答終了）
対数微分を用いて・・・ [微分]
問題 関数
の増減を調べることにより、次の不等式を導け。
m、nが3<n<mである整数ならば
関数の増減を調べるためには、の微分ができなければならない。
この微分を求めるには、x>0、y>0だから、
の両辺の対数をとり、それを微分すればよい（対数微分法）。
つまり、
あるいは、
になるので、
と計算することもできる。
なおここで、
であり、
という指数関数の公式を使っている。
微分もできたことなので、問題を解くことにする。
-graph.png)
［解］
したがって、増減表は
よって、はx=eで極大、かつ、最大である。
2<e<3だから、x>3でyは減少する。
（１） 問題の条件より3<n、また、yはx>3で減少関数だから、
である。
（２） 3<n<mだから
両辺をnm乗すると、
（解答終）
ちなみに、2⁴=4²=16だから、n=2、m=4のとき（※）の不等式は等号が成立する。
問 次の問に答えよ。
（１） 次の極限を求めよ。
（２） （１）の結果を利用して、次の極限を求めよ。
【答】
ちなみに、（１）の
の極限を求めるのに、ロピタルの定理は使えない！！
ロピタルの定理を使うと
第１９回 リプシッツ連続と一様連続 [微分]
第１９回 リプシッツ連続と一様連続
Xを実数Rの空でない部分集合とし、fをXからRへの関数とする。このとき、任意のx₁、x₂∈Xに対して、あるK≧0が存在し、
であるとき、fはXでリプシッツ連続という。また、（１）式の定数Kをリプシッツ定数と呼ぶ。
関数f(x)がXでリプシッツ連続であるとき、f(x)がXで連続であることは、次のように証明できる。
すべてのx₁、x₂∈Xとする。
K=0のとき、（１）式より、
となり、f(x)は定数関数。よって、Xの各点で連続である。
K>0のとき、x₁を固定し、任意の正数
に対して、δを
をとれば、
になるので、f(x)はすべてのx₁∈Rで連続である。
また、このことから、関数f(x)がリプシッツ連続であれば一様連続であることがただちにわかる。
一様連続
fを区間Iで定義された関数とする。任意のε>0に対し、次の条件を満たすδ>0が存在するとき、fはIで一様連続であるという。
一様連続の定義から、関数f(x)が区間Iで一様連続であればIで連続であることは明らか。そして、リプシッツ連続であれば一様連続であるので、次のような関係がある。
リプシッツ連続⇒一様連続⇒連続
一般に、逆は成立しない。
一様連続に関しては、重要な次の定理があるが、証明なしで定理だけを紹介しておく。
定理
関数fが有界閉区間Iで連続ならば、fはIで一様連続である。
上のは、有界閉区間でなければ、一般には成立しない。
例１ f(x)=x²（0≦x<∞）は一様連続でない。
とおき、δ=1/nとする。
このとき、
このようなx₁、x₂を取った場合、nを大きくし、δ>0を限りなく小さくして0に近づけても、1より小さくなることはない。よって、f(x)は[0,∞)で一様連続ではない。
（注）
一様連続の定義は
したがって、一様連続でないは、上の否定
例１ではこれを使用している。
これを数学で使われる翻訳調日本語に訳すと、
一様連続でないとは、
あるε>0が存在し、任意のδ>0に対して、あるx₁、x₂∈Iが存在し、
を満たすことである
とか(^^ゞ
また、次のように、区間Iが有界閉区間でなく、有界な開区間であっても、Iで連続な関数な関数がIで一様連続になることがある。
例２ f(x)=x²（x∈(0,1))は区間(0,1)で一様連続である。
任意のx₁、x₂∈(0,1)とする。
したがって、f(x)は(0,1)でリプシッツ連続であり、一様連続である。
あるいは、任意のε>0に対して、δ=ε/2>0をとると、
よって、一様連続である。
次の例３のように、有界な区間でなくても、リプシッツ連続であり、一様連続になる場合もある。
例３ f(x)=sinx （x∈(−∞,∞）） は（−∞,∞）でリプシッツ連続であり、一様連続である。
任意のx₁、x₂∈(−∞、∞）とする。
したがって、sinxは、(−∞,∞)でリプシッツ連続であり、一様連続である。
あるいは、任意のε>0に対して、δ=ε>0をとると、
よって、一様連続である。
問１ 平均値の定理を使って、
が成り立つことを証明せよ。
問２ f(x)=logx （x≧1）は[1,∞)で一様連続か。
【解】
x₁、x₂∈[1,∞)とし、x₁≠x₂とすると、平均値の定理より
となるcがx₁とx₂の間になる。
したがって、c>1となり、
よって、任意の正数ε>0に対して、
とδを定めれば、
任意のε>0に対して、
よって、[1,∞)で一様連続である。
（解答終）
余力のあるヒトは、「f(x)=√x （x∈[0,∞)）は[0,∞)で一様連続か」にチャレンジしてみるといいだろう。
問題 区間Iで微分可能な関数f(x)が、任意のx、y∈Iに対して
を満たせば、関数f(x)は定数である。
【解】
任意のx、y∈I（x≠y）とする。
したがって、fはIで定数である。
（解答終）
一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分]
関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。
このとき、f(x)は、x=0で微分可能で連続であるが、それ以外の点すべてで連続でない。
x=0で微分可能であることは、例えば、次のように証明されるだろう。
x≠0とする。
xが有理数のとき
xが無理数のとき
いずれにせよ、
よって、
x=0でf(x)は微分可能なのだから、f(x)はx=0で連続である。
ε-δ論法がよければ、（１）のところを次のようにすればいいだろう。
任意の正数ε>0に対してδ=ε>0にとれば、
x=0以外で連続でないことを証明するのは、例えば、次のようにすればいいだろう。
a≠0とする。
とすると、どんなδ>0をとっても
であるxが存在する（下図参照）。
何故ならば、δ>0をどんなに小さくしても、aが有理数、xが無理数のとき、
であり、aが無理数、xが有理数のとき
となり、（２）を成立させるxが｜x–a ｜<δに存在するからである。
よって、a=0以外の全ての点でf(x)は連続ではなく、微分不可能である。
（※）
「関数f(x)が点aで連続である」のより正確な定義は、
したがって、点aで連続でないは、（２）を否定した
である。
ネムネコ、微分基の本公式 (定数)’＝０ について真剣に考える（笑い） [微分]
ネムネコ、微分基の本公式 (定数)’＝０ について真剣に考える（笑い）
今まで気に留めたことがなかったけれど、考えてみれば、微分の基本公式
の証明（？）は、かなり胡散臭いもののが含まれているように思えてならない。
【証明（？）】
f(x)=C（定数）とする。
（証明終）
普通、証明には、
の部分を省略して、
と書いてあると思うにゃ。
ひょっとしたら、省略した
の部分が物議を呼び起こす可能性があり、
「寝た子（寝子・ネコ→ネコだから、このなかにネムネコも含まれる！！）を起こさない」
ために省略しているのかもしれない（笑い）。
だって、これ、は、見よう、考えようによっては、0/0のいわゆる不定形の極限に限りなく近いんだもん。こんな物騒なものを証明（？）の中に残しておくのは、将来、禍根を残すことは必定だにゃ。
ということで、この件について、茶飲み話――与太話、眉唾の話だから、真剣に読んではいけない！！――をすることにするにゃ。
ここの最後に登場する0×(+∞)は、０だかろうか、はたまた、＋∞、それとも、それ以外の値（？）か。
このような大変な混乱を招くかもしれない。
そして、ひいては、
という証明の信憑性が揺らいでしまうに違いない（笑い）。
であるから、証明の中にという物騒なもの、不確定要素を表に出すわけにはいかなかった。
そこで、
読者に気づかれぬように、闇から闇へ葬り去る必要があった(^^)
「ちょっと待て、ネムネコ！！
お前、
と計算しているが、（？）のところで、
は有限確定値でないのに0を勝手に極限の記号の中から出しているじゃないか。これがおかしいんだよ。だから、このような矛盾が生じているのだ。」
「呼ばれもしないのに、勝手にしゃしゃり出やがったな、このおじゃま虫め。
では、お前に訊くが、
お前は、
であるとき
をどうやって計算している？
お前は、こうやって計算しているんじゃないか。
だとしたら、お前も、は確定有限値ではないのに、勝手に、極限の記号の中から−、または、−1を出しているんじゃないか。
それとも、お前は、
であることを証明して使っているのか。
証明せずに使っているとしたら、オレには使ってはいけないと言っておきながら、お前はこのような規則違反を平気でおかしている。いいのか、これで。
おい、どうなんだ！！」
「c≠0（実数の定数）であるとき、
と計算していいんだよ。これは、極限計算の計算規則！！
しかし、ネムネコ、お前は、この計算規則にないc=0を極限の記号の中から外に出しているじゃないか。だから、お前は間違っているんだよ。」
「じゃぁ、おじゃま虫に訊くが、なんでc=0だと、極限記号の外に出しちゃ駄目なんだよ。」
「お前が計算したように、極限値が不定になることがあるからだ。」
「そら見ろ、0/0といった不定形の極限が背後に潜んでいるからじゃないか。やはり、オレが最初に言ったとおりじゃないか。」
思うに、微分や極限などでよく使われる
という、分かりそうでわからない、どこか感覚的で、怪しげな記号が諸悪の根源であるに違いない。
この記号を数学から根絶やしにし、イプシロン・デルタ論法、または、それに類するものを基礎に置き、議論を進めるべきに違いない！！
これこそ正義だケロ！！
第１８回 積分形式のテーラーの定理 [微分]
第１８回 積分形式のテーラーの定理
関数f(x)は区間Iで
級で、a、b∈Iとする。
このとき、
が成立する。
この式の右辺を部分積分すると、
同様に部分積分すると
したがって、
さらに、同様にこの操作を続けてゆくと、
を導くことができる。
これが、積分形式のテーラーの定理である。
微分形式のテーラーの定理は、
したがって、積分形式と微分形式のテーラーの定理とではラグランジュの剰余項
の表現が異なっている。問題は、この２つが同じものかどうかであろう。
積分の第１平均値の定理
関数f(x)、g(x)は閉区間[a,b]で連続、かつ、g(x)≧0とする。このとき、
が成り立つξが少なくとも１つ存在する。
a<bのとき、［a,b]で
だから、積分の第１平均値の定理より
となり、剰余項の表現形式が積分形式と微分形式と異なるもので、同一の定理であることが理解してもらえるのではないだろうか。
定理 （積分形式のテーラーの定理）
f(x)が区間Iで級、a∈I、任意のa∈Iに対し、
である。
特に、fがIで
級で、任意のx∈Iで
ならば、任意のx∈Iで
である。
つかぬことをお尋ねしますが、関数の連続と微分可能性の問題を(^^) [微分]
つかぬことをお尋ねしますが、
問
f(x)を開区間Iで定義された関数とし、aをIに含まれている点、つまりa∈Iとする。
x=aの１点のみで微分可能であるが、点a以外のIの全ての点で連続でない関数f(x)はあるでしょうか。
存在するならば、その関数をひとつあげるにゃ。もちろん、点aでの微分可能性、点a以外の点で連続でないことくらいは簡単に説明して欲しいにゃ。
存在しないのならば、存在しないことを証明して欲しいケロ。
あくまで初等的な微分積分の範囲でだにゃ。
開区間Iというのが気にいらないならば、開区間Iを点aの近傍N(a)としてもいいケロよ。
閉区間にすると、例えば、[0,1]、つまり、
だと、端点x=0、x=1が入って、そこでの微分可能性はどうたらこうとかという少し厄介な話が出てくるので開区間にしたけれど、別に開区間ではなく、閉区間でもいいケロよ。
例 定義域の１点で連続であるが、それ以外の点で連続でない関数の例
関数f(x)はx=1/2で連続であるが、それ以外の点で不連続！！
もう、答えを教えたようなものだにゃ(^^ゞ
念の為に言っておきますが、これは答えじゃないケロよ。あくまで、ヒントだケロ。
いかにも数学って感じがして、よくない？
前回の「微分の問題をふくらませて・・・」の話に続き [微分]
前回の話の続き！！
前回、関数f''(x)が点aの近傍(a–r,a+r)（r>0） でC²級であれば、
であるということを示した。
では、
と、f(x)の２次微分係数f''(a)を（１）式の右辺で近似したときの誤差はどの程度だろうか？
fが
級であるとき、O形式のテーラーの定理は
である。
n=2とすると、
になる。
これを（１）式に代入すると、
だから、（１）の近似式の誤差はh程度と予測できる。
だが、近似式（１）の誤差h程度ではない。このことは、
、a=1とし、h=0.1、h=0.01の場合で計算すると、このことはすぐに確かめられる。
実際、h=0.1のときの誤差は0.00226599、h=0.01のときの誤差は0.000022652で約1/100になっている。つまり、hを1/10にすると、誤差は約1/100になっており、誤差はh²に比例していることになる。つまり、（１）式の近似式の誤差はO(h²)である。
なぜ、このようなことが起きたかというと、n=3としてf(a+h)をテーラー展開すると、この理由がわかる。
奇数次の項の符号がf(a+h)とf(a–h )では正負が異っており、f(a+h)とf(a–h )を足し合わせると、奇数次の項が消えてしまうのだ。だから、誤差はO(h)ではなく、O(h²)になってしまう。実際、これを（１）式の右辺に代入すると、
となることからも確かめられる。
矛盾しているといえば矛盾していないし、矛盾していないといえば矛盾していないような気がする(^^ゞ
実は、これと同じような奇妙なことが次の極限を求めるときに発生する。
（２）、（３）式から、x→0のとき、sinxは、xと同位の無限小でO(x)で、かつ、O(x³)であるということになる。ランダウの記号、関数の無限小の定義からそうなると言われればそれまでなのだが、考えてみれば、これも奇妙な話のように思えてならない。どうやら、微分積分や解析学、そして、数値計算などでよく使用されるランダウの記号は正体不明の、かなり胡散臭いシロモノ、バケモノなのかもしれない。
何しろ、ランダウ記号（ビッグ・オーO）の計算規則は、
で、普通の算法は通用しないのだから。
したがって、これを使うときには細心の注意が必要に違いない。
さて、ランダウ記号の計算規則⑨が成立する例として、
としたときの誤差を調べてみることにする。
だから、
になるはずである。
、a=1として、hを変化させて、絶対誤差
を計算してみると、次のグラフのような結果になる（赤線）。
比較参照のために、
を用いて、f''(a)+f'(a)を計算した値もグラフ中に示してある（緑線）。
グラフの縦軸には近似値との誤差の絶対値を、横軸にはhをとり、対数グラフで計算結果を示してある。
赤の直線（？）の勾配が約１で誤差がh程度、緑の直線の勾配が約２でh²程度であることから、近似式⑨³の誤差がO(h)であること、そして、計算規則⑨の妥当性が確かめられると思う。
