極限、微分の問題を膨らませて、数値解析へ・・・ [微分]
問題 f(x)=sinxとするとき、次の極限を求めよ。
この問題をただの三角関数の極限と考えれば、三角関数の和積や倍角公式を使って次のように解くことができるだろう。
【解】
（解答終了）
三角関数の極限と考えれば、これはこれで立派な解答だろう。しかし、それでは、もったいないと思う。
（１）は分母分子がともに0になる0/0の不定形の極限で、f(x)=sinxは何回でも微分可能な関数。したがって、ロピタルの定理を使って、分子分母を２回hで微分すると、次のように解くことができる。
【別解１】
f(x)=sinxは２回微分可能で、（１）は0/0の不定形の極限。ロピタルの定理を使い、分母分子をhで微分すると、
また、
よって、
（解答終）
f(x)が２回微分可能であれば、（２）式から（１）の極限はf''(x)で、（１）はf(x)の２次導関数f''(x)の導関数を与えるということがわかる。
また、o形式のテーラーの定理、
を使うのならば、n=2として、
次のような解答を作ることもできるだろう。
【別解２】
（解答終）
ところで、f(x)が微分可能のとき
である。
そこで、
とx=aにおける微分係数f'(a)を近似したとき、（A１)と（B１）の近似式のほうが精度がよいだろうか。
f(x)が１次関数のとき、どちらの式も正確な値を出してくれる。
では、２次関数f(x)=x²の場合はどうだろうか？
f'(a)=2aだから、（B１）式は正確な値を計算してくれるけれど、（A１）式による近似値はhという誤差をもっている。だから、（B１）の方がよい近似式なのだろうと推測できる。
近似式の誤差を判定する場合、o形式のテーラーの定理よりもO形式のものの方が適していると思うので、O形式のテーラーの定理をあらためて示す。
O形式のテーラーの定理
O形式のテーラーの定理より
これを（A１）に代入すると
一方、（B１）は、
を代入すると、
となる。
このことから、（A１）の誤差はh程度で（B１）の誤差はh²程度となり、（B１）の方が精度のよい近似式であると判定できる。
右のグラフは、
とし、hの値を変化させ、（A１）と（B１）を用いてf'(1)=eを計算したときの誤差とhの関係を表したものである。横軸にはh、縦軸には誤差をとり、それを対数グラフであらわしてある。
このグラフを見ると、（B１）の方が（B１）よりも誤差が小さく、いい近似であることがわかる。
また、（A１）で計算した誤差とhの直線（？）の勾配が約１で誤差がhに比例し、（B１）の直線（？）の勾配が約２で誤差がh²に比例している。
このことからO(h)、O(h²)の意味が直感的に理解できるのではないだろうか。
ロピタルの定理の怪３ [微分]
ロピタルの定理の怪３
定理A
f(x)、g(x)は点aを除く点aの近傍で微分可能でg'(x)≠0である。このとき、
で、かつ、
が存在するならば、
が存在し、
である。
定理B
f(x)、g(x)は点aを除く点aの近傍で微分可能でg'(x)≠0である。このとき、
で、かつ、が存在するならば、が存在し、
である。
定理Aを元にして定理Bを証明（？）してみようではないかというお話。
【定理Bの証明（？）】
だから
しかもだからaの十分近くではf(x)>0、g(x)>0で、f(x)≠0、g(x)≠0である。したがって、1/f(x)、1/g(x)は、aの十分近く（x≠a)で微分可能。
よって、ロピタルの定理Aより
である。
ここで、
これを⑨式に代入すると、
⑨³より、
のとき
のとき、
だから、上と同様に考えて
（Q.E.D.）
この証明が正しければ、難しいε-δ論法を使わない優れた証明です(^^)
数学の教科書の中には、
∞/∞の極限は、
と、0/0の極限に帰着させることができ、定理Aから云々
といった趣旨のことが書かれているものがあるとかないとか。
おそらく、上の証明（？）は、こうした方針のもとでなされたものなのでしょう。
そして、この方針にしたがって次の問題を解こうとすると大変なことになる(^^)
問題 次の極限を求めよ。
【解】
これは∞/∞の極限だから
(・・?
確かに、
ではあるが、問題をより複雑化させている(^^)
それにしてもロピタルの定理は恐ろしい。そして、ロピタルの定理（使用）の闇は未だ深い！！
第１７回 ロピタルの定理 [微分]
第１７回 ロピタルの定理
ロピタルの定理Ⅰ
関数f(x)、g(x)は点aのある近傍で連続、aを除いた近傍で微分可能、かつ、g'(x)≠0とする。このとき、f(a)=g(a)=0であり、
が存在するならば
も存在し、
である。
［証明］
xを点aの近傍の点とする。
x>aのとき、f(x)、g(x)は閉区間[a,x]で連続、開区間(a,x)で微分可能、かつ、g'(t)≠0（t∈(a,x)）だから、コーシーの平均値の定理より
であるcが存在する。
したがって、x→a+0のときc→a+0だから、
である。
x→a–0 のときも同様に
が存在するので、
したがって、
（証明終了）
ロピタルの定理Ⅱ
関数f(x)、g(x)は点aのある近傍で連続、aを除いた近傍で微分可能、かつ、g'(x)≠0とする。このとき、であり、が存在するならばも存在し、
である。
ロピタルの定理Ⅱのように、ロピタルの定理の条件がf(a)=g(a)=0ではなく、の場合は、
とおき、F(x)、G(x)にロピタルの定理Ⅰを適用すると、
となり、ロピタルの定理Ⅱの証明が証明される。
ロピタルの定理Ⅲ
関数f(x)、g(x)が無限区間(a,∞)で連続で微分可能で、かつ、g'(x)≠0とする。このとき、
であり、
が存在するならば、
も存在して、
である。
［証明］
a>0とする。
t=1/xとおくと、(a,∞)は(0,1/a)に写される。したがって、x→∞はt→0+0になる。
とおくと
となるから、
よって、ロピタルの定理Ⅱより、
が存在して、
したがって、
a<0のときも同様に証明される。
（証明終了）
ロピタルの定理Ⅳ
関数f(x)、g(x)は開区間(a,b)で微分可能でg'(x)≠0とする。このとき、
で、さらに
が存在するならば、
も存在し、
である。
［証明］
とおき、0<ε<1とする。
このとき、δ₁>0が存在して
a<x<c<a+δ₁のとき、[x,c]でコーシーの平均値の定理を用いると、
であるξが少なくともⅠつ存在する。
この式は次のように変形可能。
だからg(x)>0としてよく、
cを固定すると、だから
よって、適当なδ₂>0を選ぶと、
したがって、δ=min(δ₁,δ₂)にとると
よって、
である。
（証明終）
同様に、次のロピタルの定理Ⅴが証明される。
ロピタルの定理Ⅴ
関数f(x)、g(x)は開区間(a,b)で微分可能でg'(x)≠0とする。このとき、
で、さらに
が存在するならば、
も存在し、
である。
そして、ロピタルの定理Ⅳとロピタルの定理Ⅴから、次のロピタルの定理Ⅵが証明される。
ロピタルの定理Ⅳ
関数f(x)、g(x)は点aを除く点aの近傍で微分可能でg'(x)≠0とする。このとき、
で、さらにが存在するならば、も存在し、
である。
記事「凸関数の問題２」の問題１の補足 [微分]
記事「凸関数の問題２」の問題１の補足
「区間でf(x)>0とする。logf(x)が凸関数ならば、f(x)も凸関数である」の逆、つまり、「区間でf(x)>0とする。f(x)が凸関数ならば、logf(x)も凸関数である」の反例。
［反例］
とすると、これはf(x)>0でかつ凸関数。
しかし、
は凹関数（上に凸な関数）。
したがって、「区間でf(x)>0とする。logf(x)が凸関数ならば、f(x)も凸関数である」の逆は成立しない。
凸関数の問題２ [微分]
凸関数の問題２
問題を解く前に、関数の凹凸の定義を再掲する。
区間Iで定義された関数f(x)が、Iの任意の点x₁、x₂（x₁<x₂）に対して、x₁<x<x₂ ならば
であるとき、f(x)を凸関数という。また、このとき、f(x)は下に凸という。
また、 –f(x)が凸関数であるとき、f(x)を凹関数という。
とおくと、（１）式は
と変形できる。
したがって、凸関数の定義に、（１）、（２）式のどちらを使用してもよい。
また、1–t =α、t=βとおくと、（２）式は
となるので、（３）式を凸関数の定義に使用してもよい。
また、f(x)が凸関数のとき、
が成立し、
直線AC勾配≦直線ABの勾配≦直線CBの勾配
である。
さらに、次の定理をあらためて紹介する。
定理 （凸関数と２次導関数）
関数f(x)が区間Iで連続、区間Iの内部で２回微分可能とする。f(x)がIで凸関数である必要十分な条件は、Iの内部でf''(x)>0であることである。
問題１ 次の問に答えよ。
（１） 開区間Iでf(x)>0、f(x)は２回微分可能とする。このとき、logf(x)が凸関数ならばf(x)が凸関数であることを証明せよ。
（２） 区間でf(x)>0とする。logf(x)が凸関数ならばf(x)は凸関数であることを証明せよ。一般に逆は成立しない。
［解］
（１） logf(x)はIで２回微分可能。
問題の条件よりlogf(x)は凸関数だから、定理より
。
よって、
したがって、logf(x)が凸関数であるとき、f(x)は凸関数である。
（２） x、yを区間Iの任意の点とし、0<t<1とする。
logxは増加関数だから、
logf(x)がで凸関数ならばf(x)も凸関数になる。
（解答終）
（※） a>0、b>0、0<t<1のとき
である。
問題２ fは区間Iで定義された凸関数とする。このとき、次のことを証明せよ。
（１） 任意のx∈Iに対して
は増加関数である。
（２） Iが開区間であるとき、fは任意の点x∈Iで右側微分および左側微分が可能である。
（３） Iが開区間であるとき、fは連続である。
［解］
（１） 凸関数の定義より明らか（右上のグラフ参照）。
（２） x₁<x<x₂とする。
xとx₂を固定し、x₁を増加させると、（１）より
は増加する。また、
だからは上に有界である。したがって、x₁→x-0のとき極限値
が存在する。すなわち、
であり、点xで左側微分可能である。
xとx_1を固定しx₂を減少させると、（１）より
は減少し、
だから、は上に有界。したがって、
が存在し、点xで右側微分可能である。
（３） Iが開区間のとき、（２）より、任意のx∈Iでfは右側、左側微分が可能である。したがって、fは点xで左側連続、右側連続。したがって、fは点xで連続である。
（解答終了）
（３）を式で書くと
そして、問題２は次の定理の証明になっている。
定理 関数fが閉区間[a,b]で凸関数ならば、fは開区間(a,b)で連続である。
微分法を用いた相加平均≧相乗平均の証明 [微分]
微分法を用いた相加平均≧相乗平均の証明
問題 次の問に答えよ。
（１） 
であることを証明せよ。
（２） 
ならば
であることを証明せよ。
（３） 
ならば
であり、等号が成立するのは
のときに限ることを示せ。
［解］
（１） 
とおくと、
x<0でf'(x)<0、x>0でf'(x)>0だから、f(x)はx=0で極小（最小）である。
したがって、
（２） 
とおくと、
そして、（１）より
よって、
等号成立が成立するのは、
のとき、すなわち、
（３）
とおくと、
よって、（２）より
等号が成立するのは、、すなわち、のときである。
f(x)が
級のとき、 Taylorの定理から
となるcがxとaの間にある。
したがって、f''≧0のとき、つまり、凸関数のとき、
である。
とおくと、これは点(a,f(a))における接線だから、f(x)のグラフは接線の上側にあることになる。
は凸関数で、問題の（１）の不等式の右辺はx=0における曲線の接線だから、直接的にではないけれど、相加平均≧相乗平均の証明で凸関数の性質を使っていると言えるのかもしれない。
第１６回 ランダウの記号を用いた極限の計算法 [微分]
第１６回 ランダウの記号を用いた極限の計算法
まずは、ランダウの記号（スモール・オー）の定義を示す。
のとき
とあらわす。
そして、前回紹介した漸近展開の定理を再掲する。
定理 （漸近展開）
f(x)が0を含む開区間Iで
級関数であるとき
である。
指数関数
をマクローリン展開すると
となるから、
である。
したがって
同様に、
と、ランダウの記号を用いて極限の計算をすることができる。
問題１ ランダウの記号を用いて次の極限値を求めよ。
【解】
（１） マクローリン展開より
したがって
（２） マクローリン展開より
したがって
（解答終了）
問題２ マクローリンの定理を利用して、次の極限を求めよ。
【解答】
（１） マクローリンの定理より
したがって、
よって、
（２） マクローリンの定理より
よって、
よって、
（解答終了）
第１５回 ランダウ記号の性質 [微分]
第１５回 ランダウ記号の性質
ランダウ記号の定義をあらためて示す。
ランダウの記号の定義
関数f(x)、g(x)が
であるとき、
で表す。
定理 （漸近展開）
f(x)は、0を含む区間Iで
級とする。このとき、
である。
［証明］
マクローリン（テーラー）の定理より、関数fは、任意の点x∈Iで、
であるθが存在する。
よって、
とおく。
x→0のときθx→0で、fは級だから
よって、
である。
したがって、
（証明終了）
上の定理から代表的な初等関数の漸近展開が次のように求められる。
ここで、
である。
ランダウの記号を用いて複雑な極限の計算をするときに必要になるので、ランダウの記号の演算規則を紹介する。
定理 （ランダウの記号の演算規則）
【略証】
（証明終）
数値計算などでは、ビッグ・オーOを用いることが多いので、次の定理とその証明を紹介する。
その前に、ランダウ記号のビッグ・オーOの定義を示す。
定義（ランダウのビッグ・オーO）
関数f(x)、g(x)が
であるとき、
で表す。
定理 （漸近展開）
関数f(x)が原点の近傍｜x｜<r（r>0）で
級ならば
である。
［証明］
f(x)は原点の近傍｜x｜<rで級の関数だから
は｜x｜<rで連続。
したがって、0<r₀<rをとると、は｜x｜≦r₀で連続だから有界（＊）で、
となる実数Kが存在する。
f(x)を原点でマクローリン展開すると、
よって、｜x｜≦r₀（x≠0）のとき
である。
（証明終）
（＊）
有界閉区間Iで連続な関数f(x)は、Iで最大値M、最小値ｍをとる。
だから、
にとれば
したがって、有界閉区間で連続な関数は有界である。
関数の凹凸を利用した、相加平均≧相乗平均の証明のお話 [微分]
高校の数学に登場する相加平均≧相乗平均、すなわち、
a≧0、b≧0のとき
という有名な不等式がある。
この不等式は、右辺と左辺の差をとると、
と簡単に証明できる。
「これは、関数の凹凸を利用して証明できるはずだ」と思いつつ、何故か、その証明を思いつかないでいた。
この不等式の両辺の対数をとればいいという、簡単なことに気づかないでいた（笑）。
愚かだね〜、ホント。
こんなに簡単なんだから、すぐに気づけよな〜、ホント。
所詮、⑨³の悲しさか。
［関数の凹凸を使った相加平均≧相乗平均の証明］
a=bのとき
が成立することは明らか。
a、bいずれか一方だけが0のとき、
そこで、次に、a≠b（a>0、b>0）の場合について考える。
f(x)=logxとおくと、
したがって、f(x)=logxは、狭義の上に凸な関数。
よって、a≠b（a>0、b>0）、0<t<1に対して、
特にt=1/2のとき、
である。
（証明終）
微分：第１４回の補足 [微分]
微分：第１４回の補足
ロピタルの定理を使わずに
を証明するには、たとえば、次のようにすればよい。
［解］
0<x<1のときf'(x)<0だからf(x)は減少、1<xのときf'(x)>0だからf(x)は増加。だから、f(x)x=1のときに極小、かつ、最小。
x→∞のときの極限だから、x>1と考えてよい。
で、
だから、ハサミ打ちの定理より、
［解答終了］
つまり、ロピタルの定理を使わなくても、この問題の極限値を求めることができるというわけ。
さてさて、どこから、
なる不等式を引っ張り出してきたか。
このように考えればよい。
まず、f(x)=logx上の点(1,0)におけるf(x)の接線を求める。
だから、接線の方程式は
f''(x)<0だからf(x)=logxは上に凸の関数で、接線は曲線y=f(x)=logxの上側（下側にない）。
したがって、
しかし、これでは
しか出てこない。
ということで、
とおき、（１）に代入する。
このtをxにすり替えれば、
この極限は、次のように考えて求めることもできる。
［解］
とおくと、
。
また、x→∞のときt→∞だから
［解答終了］
つまり、（１）の極限は、（２）の極限に帰着する。
（２）の極限
の証明は、たとえば、次のようにすればよい。
［解］
という関数があるとする。
したがって、f'(x)はx≧0で増加関数。
よって、f(x)はx≧0で増加関数。
だから、
したがって、
［解答終了］
高校の数学の範囲で解くならば、上のように解けばよい。
マクローリン展開を利用するならば、
