リプシッツ連続に関係がありそうな問題

リプシッツ連続に関係がありそうな問題

 

リプシッツ連続

関数f(x)は区間Iで定義されているとする。このとき、任意のx₁、x₂∈Iに対して、ある実定数K≧0が存在して、

　　

であるとき、f(x)はIでリプシッツ連続という。

 

リプシッツ連続に関係のありそうな問題を紹介する。

 

問題１　αを方程式x=f(x)の解とする。関数f(x)が微分可能で、0<｜f'(x)｜<1であるとき、x₂=f(x₁) (x₁≠α）は、x₁よりも方程式x=f(x)のいい近似解であることを証明せよ。

【解】

平均値の定理より、

　　

であり、

　　

だから、

　　

（解答終）

問題１の条件では、x=f(x)の解はただ一つである。意欲のあるヒトはこの証明にチャレンジするとよい。

問題１とは、すこし条件が違うけれど、たとえば、という方程式があるとする。

　　

とすると、f(x)は微分可能で、

　　

αを方程式x=f(x)の解とすると、

　　

となり、

　　

と逐次計算することによって、αという収束解を得ることができる。

x₁=0とし、１０回ほど反復計算すると、x=0.450184という近似解が得られる。

　　

 

この計算に使用したC言語のプログラムと計算結果を参考までに紹介することにする。

 

#include <stdio.h>

#include <math.h>

 

double f(double x) {

   return 0.5*cos(x);

}

 

main() {

   double x1, x2;

   int i, n = 10;

 

   x1=0.;

   printf("n x1 x2\n");

   for (i = 1; i <=n; i++) {

   x2 = f(x1);

   printf("%d %f %f\n", i , x1, x2);

   x1=x2; //計算結果の更新

  }

   printf("x=%f\n", x2);
}

 

計算結果

n        x1          x2

1 0.000000 0.500000

2 0.500000 0.438791

3 0.438791 0.452633

4 0.452633 0.449649

5 0.449649 0.450300

6 0.450300 0.450158

7 0.450158 0.450189

8 0.450189 0.450182

9 0.450182 0.450184

10 0.450184 0.450184

x=0.450184

 

 

問題２　f(x)は微分可能な関数で、任意の実数x,yについて次の関係式を満たしている。

　　

このとき、f(x)を求めよ。

【解】

x≠yとする。

　　

とおくと、

　　

yを固定し、x→yのときのF(x)の極限を求めると、ハサミ打ちの定理より

　　

よって、F'(x)は定数。この定数をCとおくと、

　　

（解答終）

 

⑨から一気に⑨³を結論してもいいと思うけれど、また、f(x)は微分可能な関数という条件もいらないと思うけれど、念の為に、問題にはつけておいた。

 

 

問題３　関数f(x)とその導関数f'(x)は、任意の実数x₁、x₂に対して、次の関係を満たしている。

　　

（１） このとき、

　　

（２）　f(x)は１次式で表されるかまたは定数である。

【解】

（１）

　　

任意の実数x₁、x₂に対して問題の不等式は成り立つので、問題の条件の不等式のx₁、x₂を入れ替え

　　

よって、

　　

x₁≠x₂のとき、(A)式の両辺を｜x₁–x₂｜≠0で割り

　　

x₁=x₂のとき

　　

よって、証明された。

 

（２）　x₁≠x₂とする。

　　

任意のx₂に対してf''(x₂)=0だから、f(x)は一次式で表されるか定数である。

（解答終了）