つかぬことをお尋ねしますが、関数の連続と微分可能性の問題を(^^)

つかぬことをお尋ねしますが、

問

f(x)を開区間Iで定義された関数とし、aをIに含まれている点、つまりa∈Iとする。

x=aの１点のみで微分可能であるが、点a以外のIの全ての点で連続でない関数f(x)はあるでしょうか。

存在するならば、その関数をひとつあげるにゃ。もちろん、点aでの微分可能性、点a以外の点で連続でないことくらいは簡単に説明して欲しいにゃ。

存在しないのならば、存在しないことを証明して欲しいケロ。

あくまで初等的な微分積分の範囲でだにゃ。

 

開区間Iというのが気にいらないならば、開区間Iを点aの近傍N(a)としてもいいケロよ。

 

閉区間にすると、例えば、[0,1]、つまり、

だと、端点x=0、x=1が入って、そこでの微分可能性はどうたらこうとかという少し厄介な話が出てくるので開区間にしたけれど、別に開区間ではなく、閉区間でもいいケロよ。

例　定義域の１点で連続であるが、それ以外の点で連続でない関数の例

　　

関数f(x)はx=1/2で連続であるが、それ以外の点で不連続！！

もう、答えを教えたようなものだにゃ(^^ゞ
念の為に言っておきますが、これは答えじゃないケロよ。あくまで、ヒントだケロ。
いかにも数学って感じがして、よくない？

例によりまして、ハッタリをかまして、煽るにゃ(^^)