第１０回 有限交叉性

第１０回　有限交叉性

 

集合Aの部分集合族Aは、Aに属する有限個の集合について、常に

　　

であるとき、有限交叉性をもつという。

 

定理　位相空間について、次の２つの条件は同値である。

（１）　位相空間はコンパクトである。

（２）　の閉集合の族Fが有限交叉性をもてば、常にである。

【証明】

（１）⇒（２）

位相空間の閉集合の族Fに対して、開集合の族を

　　

で定義する。

もし、

　　

であれば、ド・モルガンの法則より

　　

となり、Xの開被覆になる。

はコンパクトだから、有限の開集合を選んで

　　

とすることができる。

ド・モルガンの法則を改めて適用すると、

　　

となりFが有限交叉性をもつことと矛盾。

よって、有限交叉性をもてば、である。

 

（２）⇒（１）

逆に、Xの任意の有限交叉性をもつ閉集合がをみたし、Xがをコンパクトであることを示す。

UをXの開被覆とすると、

　　

より、

　　

となるので、

　　

はXの閉集合からなる集合族。

（２）の対偶をとると、

　　

のとき、あるを選んで、

　　

とすることができる。

ド・モルガンの法則を用いると、

　　

よって、はXの開被覆であり、はコンパクト。

（証明終）

参考までに、

チコノフ（Tychonoff）の定理

 

チコノフ（Tychonoff）の定理

位相空間の族において、各がコンパクトであることと、直積空間がコンパクトであることとは同値である。