集積点のよもやま話２ [数学基礎]
集積点のよもやま話２
集積点 Xを距離空間とし、AをXの部分集合とする。Xの点aがA−{a}の触点であるとき、aをAの集積点という。
すなわち、任意の正数ε>0に対して、
であるとき、aをAの集積点という。
特に、１次元の場合、
任意のε>0に対して、
となるx∈Aが存在するとき、xをAの集積点という。
定理 Aが閉集合である⇔Aの集積点はすべてAに含まれる。
次の集合Aがあるとする。
この集積点は0だけであり、0∈Aだから、上の定理からAは閉集合になる。
一方、
の集積点も０であるが、
だから、上の定理よりBは閉集合でないことになる。
問 次の集合は閉集合か。
【解】
A、Bの集積点（の集合）は、ともに、
定理から、
C⊂Aでないので、Aは閉集合でない。
C⊂Bなので、Bは閉集合である。
（解答終）
では、ここで問題。
問題 Aを0以上１以下の有理数の集合、すなわち、
とするとき、Aは閉集合かそうでないか、答えよ。
ここで、Qは有理数全体の集まり。
さあ、この問題を解いてもらおうじゃないか。
できた奴は、Aの集積点全体の集まり、つまり、Aの導集合を求めるよ。
なお、Aの導集合を記号
で表すとき、
の点をAの孤立点という。
たとえば、
の場合、Aの集積点は０だけなので、Aの導集合
であり、
は、すべて、Aの孤立点である。
また、Aの閉包を
で表すとき、一般に、
という関係が成立する。
とするとき、Bの集積点は０のみであるので、Bの導集合
であり、
となり、これはBを包む最小の閉集合、すなわち、Bの閉包
になっているだろう。
英語が超ラクになる「日本語との決定的な違い」 ※ 学生必見 YouTubeから [ひとこと言わねば]
YouTubeで、英語と日本語の違いに関するちょっと面白い動画を見つけたので紹介するにゃ。
たとえば、ドイツ語やフランス語などの他のヨーロッパの言葉とは異なり、英語は名詞や形容詞、冠詞などの格変化（日本語の助詞、「が」、「の」、「に」、「を」に相当する）を捨ててしまったからね〜。だから、英語は語順がすべての言語になってしまった。
たとえば、ドイツ語ならば、der、des、dem、dieと、定冠詞（英語のtheに相当）が格によって変化するので、語順が変わっても、名詞の格がわかりやすい。しかも、名詞は、男性、中性、女性名詞の３種類があり、主格の性や単数・複数によって動詞の活用形（英語の場合、be動詞がam、is,areと変化し、三単現のとき動詞の語尾にsがつけなければならないことに、その名残がある）が変化するので、英語と比較すると、語順の変化に強い。さらに、英語やドイツ語などのヨーロッパと同系統の言語であるインドの文語、サンスクリット語は格によって名詞や形容詞の語尾が複雑に変化するので（おそらく、現代のドイツ語と英語の祖先であるゲルマン祖語も同じだったと考えられる）、日本語と同じように、主語、動詞、目的語をどこに配置するかは自由で、語順なんて正直どうでもいい。このため、印欧語でありながら、日本語や朝鮮語と同じSOV型に変化してしまった。（インド人は、英語よりも日本語の方が習得しやすいという話も）
サンスクリット語の名詞の格変化の例
この点に関しては、多くの外国語や言語学に詳しいブラゲロ・マムシが、コメントとして何か書いてくれるだろうから、お前ら、楽しみして待つにゃ。
