集積点のよもやま話２

集積点のよもやま話２

 

集積点　Xを距離空間とし、AをXの部分集合とする。Xの点aがA−{a}の触点であるとき、aをAの集積点という。

すなわち、任意の正数ε>0に対して、

　　

であるとき、aをAの集積点という。

特に、１次元の場合、

任意のε>0に対して、

　　

となるx∈Aが存在するとき、xをAの集積点という。

 

定理　Aが閉集合である⇔Aの集積点はすべてAに含まれる。

 

次の集合Aがあるとする。

　　

この集積点は0だけであり、0∈Aだから、上の定理からAは閉集合になる。

一方、

　　

の集積点も０であるが、だから、上の定理よりBは閉集合でないことになる。

 

問　次の集合は閉集合か。

　　

【解】

A、Bの集積点（の集合）は、ともに、

　　

定理から、

C⊂Aでないので、Aは閉集合でない。

C⊂Bなので、Bは閉集合である。

（解答終）

 

では、ここで問題。

 

問題　Aを0以上１以下の有理数の集合、すなわち、

　　

とするとき、Aは閉集合かそうでないか、答えよ。

ここで、Qは有理数全体の集まり。

 

さあ、この問題を解いてもらおうじゃないか。

 

できた奴は、Aの集積点全体の集まり、つまり、Aの導集合を求めるよ。

 

なお、Aの導集合を記号で表すとき、の点をAの孤立点という。

たとえば、

　　

の場合、Aの集積点は０だけなので、Aの導集合

であり、

は、すべて、Aの孤立点である。

また、Aの閉包をで表すとき、一般に、

　　

という関係が成立する。

 

　　

とするとき、Bの集積点は０のみであるので、Bの導集合

であり、

　　

となり、これはBを包む最小の閉集合、すなわち、Bの閉包になっているだろう。