集積点のよもやま話３

集積点のよもやま話３

 

アルキメデスの公理

任意の正の実数a、bに対して、

　　

となる自然数nが存在する。

 

定理（有理数の稠密性）

zを１つの実数とすると、任意の正数εに対して、

　　

となる有理数aが存在する。

【証明】

アルキメデスの公理より、任意の正数εに対して、

　　

すなわち、

　　

となる自然数nが存在するので、

　　

を示せば十分。

z≧０とする。

　　

とすると、自然数全体の集合Nは上に有界でないから、A≠∅。

また、Aは自然数全体の集合Nの部分集合だから最小の自然数k∈Aが存在する。

よって、

　　

故に、

　　

よって、とすればよい。

z<0のとき、−z>0とし、上の結果を用いればよい。

（証明終）

 

この定理は、実数のすぐ近くには有理数が（無数に）存在していることを表しており、この性質を有理数の稠密性という。

 

と、準備を終えたところで、次の問題の答。

 

問題　Aを0以上１以下の有理数の集合、すなわち、

　　

とするとき、Aは閉集合かそうでないか、答えよ。

ここで、Qは有理数全体の集まり。

 

全体集合Xを実数全体の集まりRとし、AをXの部分集合とする。

　　

で、1/√2は無理数だから実数なので、上の定理から、

任意の正数εに対して

　　

である有理数a∈Aが存在する。（a=1/√2でないから、となることに注意）

というわけで、1/√2は集合Aの集積点である。

Aの集積点のすべてをAは含まないので、Aは閉集合でないということになるのであった。

 

また、Aの集積点の集合、すなわち、Aの導集合は

  

である。

一般に、有理数全体の集合をQとすると、

  

という関係が成立する。