ディラックのデルタ関数

ディラックのデルタ関数

 

ディラックのデルタ関数δ(x)とは、次の性質をもつ超関数のことである。

　　

 

このディラックのデルタ関数の性質を調べるためには、通常の微分積分の範囲を超える数学の知識が必要になるので、物理の本を参考にして、デルタ関数の性質をいくつか紹介することにする。

 

まず、

　　

x≠0ではδ(x)=0だから、x≠0のf(x)の値は積分の値に無関係で寄与しない。

したがって、

　　

 

また、

　　

である。

これは、x–a=tとおくと、x=t+a

　　

この積分の値に関係するのは、 （１）からt=0のときのf(t+a)の値。

したがって、

　　

 

次に

　　

である。

f(x)を任意の関数とする。

　　

よって、

　　

である。

 

さらに、

　　

f(x)を任意の関数にすると、

　　

t=−xとおくと、x=−tだから、x=−∞はt=∞、x=∞はt=−∞に対応する。

また、dx=−dtだから

　　

したがって、

　　

である。

 

さらにさらに、

　　

f(x)を任意の関数とする。

　　

を考える。ax=tとおくと、dx=dt/aだから

　　

よって、

　　

である。

 

最後に、デルタ関数の微分

　　

f(x)を任意の関数とし、次の積分を考える。

　　

−x=tとおくと、

　　

これに部分積分を施すと、

　　

また、

　　

したがって、任意の関数f(x)について

　　

 

以上のことをまとめると、ディラックのデルタ関数には次のような性質がある。

　　

 

（ⅰ）はデルタ関数δ(x)が偶関数であることを表し、デルタ関数の導関数δ'(x)が奇関数であることを表している。

 

 

ディラックのデルタ関数は、正規分布の密度関数

　　

の極限で与えられることが知られている。

したがって、デルタ関数は正規分布の密度関数の一種と考えることができる。

 

 

問題（７月２６日）の答え

問題（７月２６日）の答え

 

問題　関数f(x)を閉区間[a,b]（a<b）で連続な非負の関数とする。このとき、

　　

ならば、[a,b]で常にf(x)=0であることを示せ。

【証明】

f(c)>0であるc∈[a,b]があると仮定する。

f(x)は[a,b]で連続だから、あるδ>0に対して

　　

である（cが[a,b]の端点であるときは片側近傍をとる）。

δを十分小さくとると（※）、[c–δ,c+δ]⊂[a,b]になるので、

　　

(c–δ,c+δ)でf(x)>0だから

　　

よって、

　　

これは、

　　

に矛盾する。

これは、f(c)>0であるc∈[a,b]があると仮定したためにこの矛盾が生じた。

よって、[a,b]で常にf(x)=0である。

（証明終）

 

①は、関数の一点連続から次のように証明できる。

 

f(x)はx=cで連続だから、任意のε>0に対して、

　　

となるδ>0がある。

　　

εは任意の正数だから、

　　

にとり、これに対応してδを新たに定めると、

　　

 

（※）のδを十分小さくとるというのがキライなヒト、曖昧だと思うヒトは、

　　

というオマジナイを唱える(^^ゞ

 

を使いたいならば、

　　

とし、

　　

とすればよいだろう。

 

なお、問題の証明では背理法を使って

これは、

　　

に矛盾する。

としたが、実は、これ以降は不要で、これ以前で対偶法の証明が成立しているのであった！！　ただし、対偶法をつかったことを明示する必要がある。

 

 

追加問題

f(x)は閉区間[a,b]（a<b）で連続な関数とする。[a,b]で連続な、任意の関数g(x)に対して

　

が成立するとき、f(x)は[a,b]で常にf(x)=0であることを証明せよ。

 

お前らにちょっと質問！！

お前らにちょっと質問！！

 

お前ら、次の問題を解くにゃ。

 

問題　関数f(x)を閉区間[a,b]（a<b）で連続な非負の関数とする。このとき、

　　

ならば、[a,b]で常にf(x)=0であることを示せ。

 

ヒトによっては、ノーヒントだと、この証明は辛いかもしれないのでヒントを出すにゃ。

　――計算や応用問題は得意だけれど、この問題のような基礎的事項の証明は苦手、出来ないというヒトは多い！！――

 

ヒント１　背理法（または、対偶）を使う

ヒント２　「[a,b]で常にf(x)=0」の否定は、「あるx∈[a,b]があってf(x)≠0である」

ヒント３　x=cでf(x)が連続でf(c)>0ならば、cの近傍（｜x–c｜<δ）でつねにf(x)>0である

 

これだけヒントを出したのだから、他人に見せられるような証明を書けよな。

 

なお、問題の条件にある「連続な」を「積分可能な」とすると、

　　

ならば、[a,b]で常にf(x)=0であるは成立しない。

[a,b]のほとんどでf(x)=0だけれれど(^^)

 

反例

　　

は、閉区間[−1,1]でリーマン積分可能で、

　　

 

第１１回 積分の第１平均値の定理、第２平均値の定理

第１１回　積分の第１平均値の定理、第２平均値の定理

 

積分の第１平均値の定理、第２平均値の定理を紹介する前に、（定）積分の平均値の定理を再掲。

 

定積分の平均値の定理

f(x)が[a,b]で連続ならば、

　　

が存在する。

 

定積分の第１平均値の定理

f(x)が閉区間[a,b]で連続、g(x)が[a,b]で非負連続ならば、

　　

であるξが存在する。

【証明】

g(x)=0（定数関数）のとき、

　　

だから、a<ξ<bである任意のξに対して

　　

が成立する。

次に、

　　

とする。

f(x)は有界閉区間[a,b]で連続だから最大値Mと最小値mが存在し、

　　

m<Mのとき

　　

よって、中間値の定理より

　　

となるξが存在する。

m=Mのとき、つまり、g(x)が非負で恒等的に0ない定数関数のとき、積分の平均値の定理より

　　

となるξが存在する。

よって、

　　

となるξが存在する。

（証明終）

 

 

積分の第２平均値の定理

f(x)を有界閉区間[a,b]で単調かつC¹級、g(x)を[a,b]で連続とする。このとき、

　　

であるξが存在する。

【証明】

　　

とおき、 に部分積分を適用すると

　　

f(x)は[a,b]においてC¹で単調だから、f'(x)≧0またはf'(x)≦0。

よって、積分の第１定理より

　　

となるξが存在する。

したがって、

　　

（証明終）

 

 

第１０回 微積分の基本定理２

第１０回　微積分の基本定理２

 

定理１６

fが区間Iで連続、φが区間Jで微分可能であってφ(x)∈I（x∈J）ならば、

a∈Iと任意のx∈Iに対して

　　

である。

【証明】

　　

とおくと、

　　

また、

　　

（証明終）

 

（１）と（２）より、

fが区間Iで連続、φとψが区間Jで微分可能であってφ(x)、ψ(x)∈I（x∈J）ならば、

　　

 

問題１　R上の連続関数f(x)に対して次の導関数を求めよ。

【解】

（解答終）

 

 

問題２　f(x)は実数Rで連続であって、任意のh∈R、任意のx∈Rに対して

　　

ならば、f(x)は定数関数である。

【解】

xを固定して、

をhの関数と考えてhで微分すると、

　　

任意のhについてf(x+h)=f(x)が成立するので、f(x)は定数関数である（※）。

（解答終）

 

（※）　任意のxとhについて

　　

が成立するので、

　　

となるので、f(x)は定数関数である。

 

 

問題３　f(x)をI=(0,∞)で連続とする。

　　

が任意のx∈I、任意のy∈Iに対して

　　

を満たせば

　　

である。

【解】

xを固定しF(xy)をyの関数と考えて、の両辺をyで微分すると

　　

y=1とすると、

　　

である。

（解答終）

 

第９回 微積分の基本定理など

第９回　微積分の基本定理など

定理１２

関数f(x)が区間I上で連続であるとする。このとき、I上の関数F(x)に対して

（１）　F(x)がf(x)の不定積分である

（２）　F(x)がf(x)の原始関数である

は同値である。

【証明】

（１）⇒（２）

F(x)をf(x)の不定積分とすると、

　　

したがって、
　　

f(x)はIで連続だから、積分の平均値の定理より

　　

となるθが存在する。

したがって、

　　

（２）⇒（１）

F(x)をf(x)の原始関数とすると、

　　

また、f(x)の不定積分

　　

とすると、

　　

よって、

　　

したがって、

　　

となり、F(x)はf(x)の不定積分である。

（証明終）

以上のことより、次の定理が成り立つ。

定理１３　（微積分の基本定理）

f(x)が区間I上で連続とする。定点a∈Iと任意のx∈Iに対し

　　

とおくと、F(x)はIで微分可能であり、

　　

である。

さらに、次の定理。

定理１４

f(x)が区間I上で不定積分をもつならば、その不定積分はI上で連続である。

【証明】

f(x)の不定積分をF(x)、a∈Iとすると、

　　

xがIの端点でないとき、x∈[x−δ,x+δ]⊂Iとなる正数δ>0を選ぶと、f(x)は[x−δ,x+δ]で有界だから、

　　

となる正の定数Mが存在する。

そこで、0<h<δとすると、

　　

−δ<h<0とすると

　　

したがって、

　　

となり、連続である。

xがIの端点であるときも同様。

（証明終）

 

定理１５

f(x)を[a,b]であるとする。F(x)がf(x)の原始関数であれば、

　　

である。

【証明】

f(x)は[a,b]で連続でF(x)はf(x)の原始関数だから、定理１２よりF(x)はf(x)の不定積分であり、

　　

と表せる。

よって、

　　

（証明終）

そして、これで、高校の定積分の公式

　　

に結びついた。

第８回 原始関数と不定積分

第８回　原始関数と不定積分

高校の数学では、たとえば、原始関数と不定積分を

「導関数がf(x)である関数を不定積分、または、原始関数といい、記号であらわす。すなわち、

　　

である」

と定義するなど、原始関数と不定積分の違いがかなり曖昧である。

この事情は、大学の数学においても同様で、

「関数Fに対し、導関数がfに等しい関数をfの原始関数という。原始関数をであらわし、fの不定積分という」

など、教科書によって立場が異なり、かなり混乱しているように思う。

そこで、原始関数をあらためて次のように定義することにする。

定義（原始関数）

区間I上の関数f(x)に対し、
　　

を満たす関数F(x)が存在するとき、F(x)をf(x)の原始関数という。

定理１３

関数F(x)がf(x)の原始関数、すなわち、F’(x)=f(x)ならば、F(x)+C（Cは定数）もfの原始関数である。関数G(x)がf(x)の他の原始関数ならば、差G(x)−F(x)は区間I上で定数である。すなわち、

　　

である。

【証明】

F(x)がf(x)の原始関数であるとすると、

　　

したがって、F(x)+Cもf(x)の原始関数である。G(x)をf(x)の他の原始関数とすると、G’(x)=f(x)だから、H(x)=G(x)−F(x)とおくと、x∈Iのすべてのxについて

　　

a∈Iである１点aをとると、平均値の定理より

　　

となるξが存在し、
　　

よって、G(x)−F(x)は区間I上で定数。

（証明終）

例１　実数R上の関数

　　

は原始関数をもたない。

この関数f(x)が原始関数F(x)を持つとすると、x>0で微分可能でF’(x)=f(x)=0になるので、F(x)はx>0で定数関数。同様に、x<0でもF'(x)=f(x)=0だから、F(x)もx<0で定数関数。

そこで、
　　

とおくと、F(x)はx=0で微分可能だからx=0で連続だから、

　　

したがって、
　　

となり、F(x)がf(x)の原始関数であることと矛盾する。

よって、f(x)は原始関数を持たない。

 

定義（不定積分）

関数f(x)を区間Iに含まれる有界閉区間上で積分可能とする。このとき、a∈Iと任意定数Cに対して

　　

をf(x)のI上の不定積分といい、

　　

であらわす。

上記のように不定積分を定義すると、

　　

f(x)は実数Rに含まれる任意の任意の有界閉区間上で積分可能で、f(x)の不定積分は

　　

となる。ここで、Cは任意の定数である。

このとき、F’(0)=0で、F’(0)≠f(0)=1となるので、F(x)=Cはf(x)の不定積分であるが、f(x)の原始関数ではない。

例２　f(x)=xの不定積分は

　　

は定数だから、これをあらためて定数とすると、

　　

 

問　実数R上の関数

　　

の不定積分F(x)の一つを求め、F’(x)=f(x)が成り立たないことを示せ。

【解】

a=0、積分定数C=0とする。

x<0のとき

　　

x≧0のとき

　　

したがって、

　　

よって、F(x)はx=0で微分可能でなく、F'(x)=f(x)は成り立たない。

以上のことより、（２）式で不定積分を定義すると、不定積分に対しては（１）式が必ずしも成立しないことがわかると思う。

第７回 定積分の性質２

第７回　定積分の性質２

定理１０

関数f(x)、g(x)が有界閉区間I上で積分可能ならば、f(x)g(x)もI上で積分可能である。

【証明】

f(x)、g(x)はI上で有界だから、

　　

となる定数M（M>0）が存在する。

y∈Iとすると、

　　

したがって、Iの任意の分割をΔ、とすれば、振幅は

　　

よって、

　　

f(x)、g(x)はI上で積分可能だから、｜Δ｜→0のとき

　　

だから、

　　

となり、f(x)g(x)はI上で積分可能である。

（証明終）

よって、有界閉区間I上で連続な関数f(x),g(x)はI上で積分可能だから、上の定理からf(x)g(x)はI上で積分可能である。

また、f(x)を有界閉区間I上で連続、g(x)をI上で積分可能のとき、f(x)g(x)はI上で積分可能である。

定理１１

関数f(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)>0、さらにが有界ならば、もI上で積分可能である。

【証明】

f(x)はI上で有界だから

　　

である定数M>0が存在する。

したがって、x,y∈Iに対して

　　

Iの任意の分割をΔ、とすると

　　

f(x)はI上で積分可能だから

　　

よって、

　　

したがって、1/f(x)はI上で積分可能である。

（証明終）

上の２つの定理から、f(x)、g(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)≠0ならば、f(x)/g(x)はI上で積分可能ということになる。

定理１２

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で積分可能ならば、｜f(x)｜はI上で積分可能で

　　

である。

【証明】

x、y∈Iに対して

　　

Iの任意の分割をΔ、とすると、

　　

よって、

　　

f(x)はI上で積分可能だから

　　

したがって、

　　

となり、｜f(x)｜はI上で積分可能である。

また、

　　

よって、

　　

（証明終）

第６回 連続関数の積分可能性

第６回　連続関数の積分可能性

定理７　（有界閉区間上の連続関数の積分可能性）

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であれば、f(x)はI上で積分可能である。

【証明】

f(x)は有界閉区間I上で連続だから、f(x)はI上で一様連続である。

したがって任意の正数ε>0に対して、ある正数δが存在して

　　

｜Δ｜<δであるIの任意の分割をとると、におけるf(x)の振幅は

　　

よって、
　　

したがって、

　　

となり、f(x)はI上で積分可能である。

（証明終）

定理８

関数f(x)、g(x)が有界閉区間I上で連続で、

　　

かつf(ξ)>g(ξ)となるξ∈Iが存在するならば

　　

である。

【証明】

　　

とすると、条件より

　　

で、h(ξ)>0となるξ∈Iが存在する。

f(x)とg(x)がI上で連続だからh(x)もI上で連続。

よって、ξ≠aかつξ≠bのとき、｜x−ξ｜<δでh(x)>0である正数δが存在し、
　　

ξ=aのとき、a≦x<a+δでh(x)>0である正数δが存在し

　　

ξ=bのとき、b−δ<x≦bでh(x)>0である正数δが存在し

　　

（証明終）

例　閉区間[0,1]で定義される

　　

とg(x)=0（x∈[0,1]）があるとする。

f(x)、g(x)は[0,1]上で積分可能で

　　

つまり、有界閉区間I=[a,b]上で積分可能な関数f(x)、g(x)の場合、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在するという場合でも

　　

の等号を外すことはできない。

しかし、I上で連続な関数f(x)、g(x)のとき、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在する場合、（２）式の等号が外れて

　　

となる。

有界閉区間I上で連続という条件のほうが、I上で有界かつ積分可能という条件よりも強い条件というわけ。

定理９　（積分の平均値の定理）

f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であるとき

　　

となるξが存在する。

【証明】

f(x)が定数関数であるときは明らか。

そこで、f(x)は定数関数でないとする。

f(x)はI上で連続だから最大値Mと最小値mが存在する。
　　

よって、中間値の定理より

　　

となるξが存在する。

（証明終）

例２　f(x)、g(x)はともにI=[0,1]上の関数で、f(x)=x、

　　

とする。

このとき、

　　

f(x)は[0,1]上で連続だから、ξ=1/2のとき

　　

となり、上の定理が成立するけれど、I上で連続でないg(x)には

　　

であるξは存在しない。

有界閉区間で連続という条件が積分可能性よりもかなり「強い条件」であることがわかってもらえるのではないだろうか。

 

第５回 積分可能であるための条件

第５回　積分可能であるための条件

リーマン和に基づく積分可能の定義は以下の通り。

（リーマン）積分の定義

関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。

任意の分割Δとそのそれぞれのの任意のに対して

　　

であるとき、関数f(x)は[a,b]で積分可能といい、

　　

とあらわす。

不足和、過剰和の定義は次の通り。

不足和、過剰和の定義

fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割、とおく。分割Δに対してとおくとき、
　　

を、それぞれ、f(x)のΔに関する不足和、過剰和という。

上積分、下積分の定義は次の通り。

上積分、下積分の定義

関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。

過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限

　　

をf(x)のI上の上積分という。

不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限

　　

をf(x)のI上の下積分という。

関数の振幅（振動量）の定義は以下の通り。

関数の振幅の定義

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して
　　

をf(x)のI上の振幅（振動量）という。

定義を再掲したところで、積分可能性の必要十分条件に関する以下の定理を紹介する。

定理５

有界閉区間i=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、次の条件は同値である。

（１）　f(x)はI上で積分可能である。

（２）　

（３）　Iの分割Δに対して

　　

【証明】

（１）⇒（２）の証明。

任意の正数ε>0に対して、

　　

任意の分割Δに対して、とおくと、上限の定義より

　　

となるが存在する。

よって、
　　

f(x)はI上で積分可能だからδ>0が存在し｜Δ｜<δとなる任意の分割に対して

　　

よって、任意のIの分割Δに対して
　　

についても同様。

（２）⇒（１）の証明

任意の分割Δに対して

　　

が成立し、

　　

となり、ハサミ打ちの定理より

　　

である。

（２）⇔（３）

Iの任意の分割Δに対して

　　

ダルブーの定理よりは収束するので、
　　

よって、

　　

（証明終了）

上の定理を使うと、有界閉区間I=[a,b]上の単調な関数f(x)が可能であることを証明することができる。

定理６　（有界閉区間上で単調な関数の積分可能性）

有界閉区間i=[a,b]上で単調な関数f(x)は、I上で積分可能である。

【証明】

Iの任意の分割Δに対するにおける上限、下限は

　　

である。

f(x)が定数関数のとき、任意の分割Δに対して

　　

だから、
　　

となり積分可能である。

f(x)が単調増加の場合、任意の正数ε>0に対して

　　

とおくと、｜Δ｜<δである任意の分割Δについて
　　

となり、

　　

で積分可能である。

f(x)が単調減少のときも同様。

（証明終）

f(x)が単調減少のとき、g(x)=−f(x)とおくと、g(x)はI上で単調増加で、g(x)はI上で積分可能。

g(x)がI上で積分可能だから、f(x)=−g(x)もI上で積分可能である。

これを有界閉区間上の単調減少関数の積分可能性の証明にしてもよい。