お前らにちょっと質問！！

お前らにちょっと質問！！

 

お前ら、次の問題を解くにゃ。

 

問題　関数f(x)を閉区間[a,b]（a<b）で連続な非負の関数とする。このとき、

　　

ならば、[a,b]で常にf(x)=0であることを示せ。

 

ヒトによっては、ノーヒントだと、この証明は辛いかもしれないのでヒントを出すにゃ。

　――計算や応用問題は得意だけれど、この問題のような基礎的事項の証明は苦手、出来ないというヒトは多い！！――

 

ヒント１　背理法（または、対偶）を使う

ヒント２　「[a,b]で常にf(x)=0」の否定は、「あるx∈[a,b]があってf(x)≠0である」

ヒント３　x=cでf(x)が連続でf(c)>0ならば、cの近傍（｜x–c｜<δ）でつねにf(x)>0である

 

これだけヒントを出したのだから、他人に見せられるような証明を書けよな。

 

なお、問題の条件にある「連続な」を「積分可能な」とすると、

　　

ならば、[a,b]で常にf(x)=0であるは成立しない。

[a,b]のほとんどでf(x)=0だけれれど(^^)

 

反例

　　

は、閉区間[−1,1]でリーマン積分可能で、