問題（７月２６日）の答え

問題（７月２６日）の答え

 

問題　関数f(x)を閉区間[a,b]（a<b）で連続な非負の関数とする。このとき、

　　

ならば、[a,b]で常にf(x)=0であることを示せ。

【証明】

f(c)>0であるc∈[a,b]があると仮定する。

f(x)は[a,b]で連続だから、あるδ>0に対して

　　

である（cが[a,b]の端点であるときは片側近傍をとる）。

δを十分小さくとると（※）、[c–δ,c+δ]⊂[a,b]になるので、

　　

(c–δ,c+δ)でf(x)>0だから

　　

よって、

　　

これは、

　　

に矛盾する。

これは、f(c)>0であるc∈[a,b]があると仮定したためにこの矛盾が生じた。

よって、[a,b]で常にf(x)=0である。

（証明終）

 

①は、関数の一点連続から次のように証明できる。

 

f(x)はx=cで連続だから、任意のε>0に対して、

　　

となるδ>0がある。

　　

εは任意の正数だから、

　　

にとり、これに対応してδを新たに定めると、

　　

 

（※）のδを十分小さくとるというのがキライなヒト、曖昧だと思うヒトは、

　　

というオマジナイを唱える(^^ゞ

 

を使いたいならば、

　　

とし、

　　

とすればよいだろう。

 

なお、問題の証明では背理法を使って

これは、

　　

に矛盾する。

としたが、実は、これ以降は不要で、これ以前で対偶法の証明が成立しているのであった！！　ただし、対偶法をつかったことを明示する必要がある。

 

 

追加問題

f(x)は閉区間[a,b]（a<b）で連続な関数とする。[a,b]で連続な、任意の関数g(x)に対して

　

が成立するとき、f(x)は[a,b]で常にf(x)=0であることを証明せよ。