第7回 定積分の性質2 [定積分]
第7回 定積分の性質2
定理10
関数f(x)、g(x)が有界閉区間I上で積分可能ならば、f(x)g(x)もI上で積分可能である。【証明】
f(x)、g(x)はI上で有界だから、となる定数M(M>0)が存在する。
y∈Iとすると、
したがって、Iの任意の分割をΔ、とすれば、振幅は
よって、
f(x)、g(x)はI上で積分可能だから、|Δ|→0のとき
だから、
となり、f(x)g(x)はI上で積分可能である。
(証明終)
よって、有界閉区間I上で連続な関数f(x),g(x)はI上で積分可能だから、上の定理からf(x)g(x)はI上で積分可能である。
また、f(x)を有界閉区間I上で連続、g(x)をI上で積分可能のとき、f(x)g(x)はI上で積分可能である。定理11
関数f(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)>0、さらにが有界ならば、もI上で積分可能である。
【証明】f(x)はI上で有界だから
である定数M>0が存在する。
したがって、x,y∈Iに対して
Iの任意の分割をΔ、とすると
f(x)はI上で積分可能だから
よって、
したがって、1/f(x)はI上で積分可能である。
(証明終)
上の2つの定理から、f(x)、g(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)≠0ならば、f(x)/g(x)はI上で積分可能ということになる。
定理12
関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で積分可能ならば、|f(x)|はI上で積分可能でである。
【証明】
x、y∈Iに対して
Iの任意の分割をΔ、とすると、
よって、
f(x)はI上で積分可能だから
したがって、
となり、|f(x)|はI上で積分可能である。
また、
よって、
(証明終)
2017-03-24 12:00
nice!(0)
コメント(0)
トラックバック(0)
コメント 0