第10回 微積分の基本定理2 [定積分]
第10回 微積分の基本定理2
定理16
fが区間Iで連続、φが区間Jで微分可能であってφ(x)∈I(x∈J)ならば、
a∈Iと任意のx∈Iに対して
である。
【証明】
とおくと、
また、
(証明終)
(1)と(2)より、
fが区間Iで連続、φとψが区間Jで微分可能であってφ(x)、ψ(x)∈I(x∈J)ならば、
問題1 R上の連続関数f(x)に対して次の導関数を求めよ。
【解】
(解答終)
問題2 f(x)は実数Rで連続であって、任意のh∈R、任意のx∈Rに対して
ならば、f(x)は定数関数である。
【解】
xを固定して、
をhの関数と考えてhで微分すると、
任意のhについてf(x+h)=f(x)が成立するので、f(x)は定数関数である(※)。
(解答終)
(※) 任意のxとhについて
が成立するので、
となるので、f(x)は定数関数である。
問題3 f(x)をI=(0,∞)で連続とする。
が任意のx∈I、任意のy∈Iに対して
を満たせば
である。
【解】
xを固定しF(xy)をyの関数と考えて、の両辺をyで微分すると
y=1とすると、
である。
(解答終)
2017-05-08 12:00
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