速度・変化率の問題１

速度・変化率の問題１

 

問題１　球状のシャボン玉に空気を送り込んで、球状のまま膨らますものとする。

（１）　毎秒acm³（aは一定）の割合で空気を送り込むとき、体積がbcm³の状態からt秒後における半径rcmの増加率（tについての）をtの関数で表わせ。

（２）　表面積の増加率を一定とするとき、体積Vcm³の増加率はに比例することを示せ。

【解答】

（１）　t秒後の体積はb+atだから、

　　

両辺をtで微分すると、

　　

 

（２）　表面積をSとすると、

　　

また、

　　

したがって、表面積の増加率を一定とするとき、体積Vcm³の増加率はに比例する。

（解答終）

 

類題　半径ｒcmの球の体積が一様な速さacm³/秒で増加している。直径が１０cmになったときの表面積が増加する割合を求めよ。

【解答】

体積をVとすると

　　

両辺をｔで微分すると、

　　

表面積S=πr²をtで微分すると

　　

よって、r=5のとき、

　　

（解答終）

 

 

問題２　地面に垂直な壁に立てかけてある長さ５ｍのはしごの下端が地面に沿って毎秒２ｍの速さで壁から遠ざかっている。下端が３ｍになるとき、上端の速度を求めよ。

【解答】

地面からはしごの上端の距離をyｍ、壁からはしごの下端の距離をxｍとすると、

　　

両辺をtで微分すると、

　　

はしごの下端が地面に沿って毎秒２ｍ遠ざかっているので、

　　

x=３のとき、

　　

以上の結果を①に代入すると、

　　

よって、毎秒3/2ｍで下方に降下する。

（解答終）

 

 

問題３　水面から３０ｍの高さの岸壁の頂から５８ｍの綱で船を５８ｍの綱で引き寄せる。毎秒４ｍの速さで綱をたぐると、２秒後の船の速さはいくらか。

【解答】

岸壁の頂きをA、その真下の水面をB、船の位置をPとし、

　　

とすると、

　　

綱を引く速さは

　　

①をtで微分すると、

　　

２秒後の綱の長さs=50なので、①より

　　

よって、②と、x=2、s=50より

　　

よって、船の速さは２ｍ/秒。

（解答終）

 

 

 

 

 

コメント 1

問題3は船の速さは5m/sですね。2m/sになってたので。
by ichi (2022-04-22 11:01)