比率の推定 確率・統計

比率の推定　確率・統計

 

母集団から標本をn個抽出し、賛成・反対や良品・不良品などの比率の推定について、工場製品に占める良品の比率を例に考える。

 

母集団から無作為に取り出した標本の数がnで良品x個、良品の比率をpとすると、n個の中に良品がx個含まれている確率は

　

であり、この確率分布は二項分布B(n,p)になる。

nが大きいとき、これは

　

の正規分布と考えてよい。

したがって、

　

の分布は正規分布N(0,1)だから、

信頼度９５％で、

　

この両辺をnで割ると、

　

 

同様に、信頼度９９％で

　

 

 

問題１　全製品中から４００個を任意に抽出したところ、２８０個が良品であることがわかった。全製品に占める良品の割合を信頼度９５％で推定せよ。

【解答】

全製品の良品の割合をpとすると、各標本について良品の占める割合はpだから、n個の標本中x個が良品である確率は

　

となり、平均np、標準偏差の２項分布になる。

n=400と大きいので、これは正規分布とみなすことができて、（１）より、信頼度９５％で

　

n=400、x=280だから、これを上式に代入すると

　

pは0.7に近いと考えられるので、p=0.7として右辺に代入すると、

　

よって、信頼度９５％で

　

（解答終）

 

もちろん、①式の右辺にp=0.7を代入せず、不等式①の両辺を２乗して、不等式

　

を解き、pの解を求めても好い。

すると、

　

くらいになる。

 

次に世論調査などで必要になるサンプル数の個数について考える。

標本の数をn、賛成者の数をx、母集団の賛成者の割合をpとする。

信頼度９５％で誤差0.03とすると、（１）より

　

となるように標本数nを定めればよい。

したがって、

　

この場合、pは0≦p≦1の値を取りうるので、

　

の最大値を求めると、

　

となるので、（３）の左辺にp=1/2を代入すると、

　

となる。

したがって、約１０００人調査すれば、信頼度９５％で誤差0.03、すなわち、誤差３％で賛成者の割合を求めることができる。

 

 

問題２　ある意見に対する賛成者の比率は３０％前後であると予想される。賛成者の真の比率を３％以下の誤差で推定するには、何人≧について調べればよいか。信頼度を９５％以上と信頼度９９％以上の場合について求めよ。

【解答】

回答者の数をn、その内の賛成者の数をxとする。

９５％のとき、

　

９９％のとき、

　

したがって、信頼度９５％のときは

となるようにnをとればよい。

p=0.3とすると

　

 

信頼度９９％のときは

　

p=0.3として代入すると

　

したがって、

信頼度９５％のときは約９００人

信頼度９９％のときは約１６００人

（解答終）