ピストン・クランク機構 ちょっと（工業）力学

ピストンとクランク機構

 

問題　図はピストンとクランクの装置を示したもので、OP=５０ｃｍ、PQ=２００ｃｍとし、OPは毎秒２回転するものとする。∠POQが増加してちょうど３０°になった瞬間におけるQの速度を求めよ。

【解答】

∠POQ＝θ、OQ＝xｃｍとすると、余弦定理から

　　

この両辺を時刻tで微分すると、

　　

OPは毎秒２回転、すなわち、４π（rad）回転するので、

　　

これを②式に代入すると、

　　

θ=３０°=π/6(rad)のとき、xは①より、

　　

これを解くと、

　　

x>0だから、

　　

③式に、x=25（√3+3√7）、θ=π/6を代入すると、

　　

（解答終）

 

大学の数学の入試問題にこんな問題が出るとは思えないが、計算力のないネムネコが試験会場でこの問題を解こうとしたら、③以降のどこかで絶対、計算間違いをする自信がある。

 

なのですが、ピストン・クランク機構は、実用的に重要なので、（工業）力学などで理論化されている。

 

原点Oを中心とし半径rの円周上を、点Pが反時計回りに角速度ωで回転しているとする。そして、点Pと点Qの距離はLで、点Qはx軸上を移動し、時刻tにおいて∠QOP=θ、∠PQO=Φとする。

また、OQ=xとすると、幾何学的な関係から

　　

となる。

PHは

　　

となるので、

　　

これを（１）に代入すると、

　　

ここで、物理らしく

　　

と近似すると、（２）式は

　　

ここで、三角関数の倍角公式

　　

を用いると、

　　

となる。

ここで、さらにθ=ωtとすると、

　　

が得られる。

これをtで微分すると、

　　

さらに、tで微分すると、

　　

という公式（？）が得られる。

ここで、vは点Qの速度、αは点Qの加速度である。

 

ただし、（４）、（５）は、厳密なものではなく、近似式であることに注意。

 

この（４）式を使って、問題の速度を求めてみよう。

OPは毎秒４回転するので、角速度ω=4（ｍ/秒）である。また、θ=ωt=π/6（rad)であり、r=50cm、L=2000cmなので、

　　

対して、問題の答は

　　

となり、大体、0.1％位の誤差で計算できており、十分に実用に足りることがわかる。