確率・統計と極限の融合問題 [高校の統計]
確率・統計と極限の融合問題
問題1 外観では区別できない2つの袋U₁、U₂があり、
U₁には4n個の赤い玉とn個の白い玉
U₂には2n個の赤い玉と3n個の白い玉
がそれぞれ入っている。このどちらかが観測者に手渡され、袋U₁が手渡される確率は2/3、袋U₂が手渡される確率は1/3である。
観測者は手渡された袋から3個玉を取り出し、赤い玉の数が白い玉の数より多いときはU₁であり、そうでないときはU₂であると判断する。観測者が誤った判断を下す確率を求めよ。
【解】
観測者が誤った判断を下すのは次の2つの場合である。
袋U₁が手渡され、赤い玉が1、白い玉が2個、または、白い玉が3個
袋U₂が手渡され、赤い玉が3個、または、赤い玉が2個、白い玉が1個
したがって、
よって、
(解答終)
問題2 さいころをn回投げ、出た目の最大数がxとなる確率をで表す。を求め、つぎにを求めよ。
【解】
出た目の最大数がxになる確率は、さいころをn回投げたとき、すべて1からxの目が出る確率から、すべて1からx−1が出た確率を引いたものになるので、
したがって、
(解答終)
問題3 箱の中に1,2,・・・,9の数字を1つずつ書かれたカードが9枚入っている。これを無作為に1枚取り出し、その数字を調べてから元の箱に戻す。これを3回繰り返して、取り出したカードの最大数をXとする。kを1≦k≦9である整数とするとき、次の問に答えよ。
(1) X≦kである確率を求めよ。
(2) X=kである確率を求めよ。
(3) Xの期待値を求めよ。
【解】
(1) これはk以下の数が3回続けて取り出す場合なので、
(2)
(3)
(解答終)
類題 2つの箱に1からnまでの通し番号を書いたn枚のカードが入っている。各箱から同時に1枚ずつカードを取り出し、番号を比較して、小さくない方をXとするとき、次の問に答えよ。
(1) X=kである確率をnとkで表わせ。(kは整数で1≦k≦n)
(2) Xの期待値をnの式で表わせ。
【答】
問題4 次のようなゲームを考える。サイコロを投げて偶数の目が出れば続けて投げ、奇数の目が出ればそこでゲームを止める。k回続けて偶数の目が、(k+1)回目に奇数が出た場合にk点が与えられるものとする。
(1) 偶数の目が続くことがn回以下としたときの得点の期待値を求めよ。
(2) を求めよ。
【解】
(1) 得点がk点であるのは、k回引き続き偶数が出て、k+1回目に奇数が出る場合なので、この確率
したがって、求めるべき期待値は
①に1/2を掛けて、①との差をとると、
(2) n≧2のとき
したがって、
よって、ハサミウチの定理より、
したがって、
(解答終)
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