第４回 内含命題 [集合と論理]
第４回 内含命題
「aならばb」という形の複合命題を内含命題といい、記号、
などで表す。
内含命題a⇒bの真偽表は次の通りである。
また、a⇒bは次のように定義される。
このとき、
が成り立つので、
が成り立つ。
問１ 真偽表を用いて、（２）が成り立つことを確かめよ。
【解】
（解答終）
「aならばb」かつ「bならばa」が成り立つとき、記号
で表し、aとbは同値であるという。
問２ a⇔bのとき、命題aと命題bの真偽が一致すること、すなわち、a=bであることを確かめよ。
【解】
（解答終）
問３ 真偽表を用いて、次の命題の真偽を確かめよ。
【解】
（解答終）
問４ 次の等式が成り立つことを示せ。
【解】
（解答終）
問５ 真偽表を用いて、次の等式が成り立つことを示せ。
【解】
（解答終）
問６ 次の等式を証明せよ。
【略解】
または、
（解答終）
第３回 命題の演算法則 [集合と論理]
第３回 命題の演算法則
命題aの否定
の否定については、次の関係がつねに成立する。
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a |
|
|
|
T |
F |
T |
|
F |
T |
F |
２つの命題a、bの連言a∧b、aまたはcについては、交換法則が成立する。
また、３つの命題a、b,cの連言、選言については、結合法則が成立する。
分配法則
a∧(b∨c)の真偽表
a∨(b∧c)の真偽表
問１ 次のことが成り立つことを示せ。
【解】
したがって、問１から、
を命題とするとき、一般に次の関係が成り立つことがわかる。
べき等法則と吸収法則
べき等法則
吸収法則
問２ 分配法則を適用し、次の関係が成立することを示せ。
【解】
（解答終）
ド・モルガンの法則
の真偽表
の真偽表
問３ 次のことを示せ。
【解】
（解答終）
したがって、
を命題とするとき、次の関係が成り立つことがわかる。
第２回 複合命題の真偽 [集合と論理]
第２回 複合命題の真偽
命題aに対して、「aでない」という命題を命題aの否定といい、記号
で表す。
命題が真であることをT（true）、偽であることをF（false）で表すと、命題aの否定の真偽表または真理表次のようになる。
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a |
|
|
T |
F |
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F |
T |
命題a、bに対して、「aかつb]という命題を、aとbの連言と言い、記号
で表す。
連言の真偽表は次のとおり。
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a |
b |
a∧b |
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T |
T |
T |
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T |
F |
F |
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F |
T |
F |
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F |
F |
F |
命題a、bに対して、「aまたはb」という命題を、aとbの連言といい、記号
で表す。
連言の真偽表は次のとおりである。
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a |
b |
a∨b |
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T |
T |
T |
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T |
F |
T |
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F |
T |
T |
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F |
F |
F |
選言a∨bは、命題aとbがともに偽であるときのみ儀で、他の場合は真である。
真偽表より、命題aとbの連言a∧b、選言については、交換法則、すなわち、
また、次の真偽表より、結合法則も成立する。
連言の結合法則
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a |
b |
c |
a∧b |
(a∧b)∧c |
b∧c |
a∧(b∧c) |
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T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
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T |
T |
F |
T |
F |
F |
F |
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T |
F |
T |
F |
F |
F |
F |
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F |
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F |
F |
F |
F |
F |
選言の結合法則
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a |
b |
c |
a∨b |
(a∨b)∨c |
b∨c |
a∨(b∨c) |
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T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
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T |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
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F |
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F |
F |
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F |
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F |
F |
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T |
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F |
F |
F |
F |
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