第５９回 空間曲線

第５９回　空間曲線

 

 

空間の点Pの描く空間曲線は

　　

で与えられるが、これは原点Oを始点とする点Pの位置ベクトルが

　　

と与えられることと同等である。

 

そして、接線ベクトルは

　　

で与えられる。

 

さらに、この曲線Cが滑らかなとき、位置ベクトルr(a)からr(t)までの弧の長さs(t)は

　　

となり、

　　

よって、

　　

とすれば、

　　

このdsを線元素という。

 

sはtの関数であるが、逆にtもsの関数と考えられるので、曲線は、曲線の長さを用いて

　　r=r(s)

とあらわすことができる。

このとき、

　　

は曲線に接しsの増加する方向に向かうベクトルである。

何故ならば、

　　

で、ベクトルtは接線ベクトルdr/dtと平行だから。

 

また、sとs+Δsに対応する曲線上の点をP、Qとし、とすれば

　　

だから、tは単位接線ベクトルである。

 

Qにおける接線ベクトルとPにおける接線ベクトルのなす角度をΔθとすれば、

　　

は、曲線の長さに対する接線の向きの変化率をあらわし、

　　

を点Pにおける曲率という。この定義から明らかなように曲率は正または０であり、曲線上の各点でκ=0である時は直線である。

 

 

単位接線ベクトルt同士の内積t・t=1を微分すると、

　　

となり、はtに垂直である。

また、

と同じ向きの単位ベクトルをnとすれば、

　　

このnをPにおける（単位）主法線ベクトルといい、

　　

となる。

 

また、曲率は

　　

 

曲率の逆数
　　

を曲率半径といい、曲線上のPから引かれたベクトルρnの終点を曲率半径の中心という。

 

また、曲線上の点Pにおける接線ベクトルと主法線ベクトルの外積

　　b=t×n
を、点Pにおける曲線の（単位）従法線ベクトルという。

したがって、

　　

 

t、n、bは互いに直交する単位ベクトルで、右手系をなす。

 

また、

　　

が成立し、τを捩率（れいりつ）という。

 

 

問題１　次の螺旋曲線の（単位）接線ベクトル、主法線ベクトル、従法線ベクトル、さらに曲率κと捩率τを求めよ。

　　

【解】

　　

したがって、

　　

よって、

　　

単位接線ベクトルtは

　　

また、

　　

ゆえに、曲率κは

　　

よって、主法線ベクトルnは

　　

従法線ベクトルbは

　　

これから、

　　

よって、捩率τは

　　

（解答終）

xy平面の２次元で曲率について説明する。

次の図のように、点Pにおける曲線の接線とx軸のなす角度をθとする。このとき、単位接線ベクトルt=(cosθ,sinθ)となる。

単位弧長あたりの接線ベクトルの変化率は

　　

よって、

　　

 

 

問題２　曲線y=f(x)の曲率を求めよ。

【解】

接線とx軸のなす角度をθとすると、

　　

よって、

　　

また、

　　

よって

　　

だから、

　　

となる。

特にy'が１に比べて非常に小さい場合は、

　　

（解答終）