直接、積分することで、非同次の２階線形微分方程式は解けないのか

直接、積分することで、非同次の２階線形微分方程式（せめて定数係数くらい）は解けないのか

 

次の非同次の２階線形微分方程式があるとする。

　　

右辺を０にした同次方程式

　　

の特性方程式

　　

だから、は（２）の基本解で

　　

が一般解になる。

そして、何らかの方法で（１）の特殊解y₀を求めれば、

　　

が（１）の一般解なる。

 

これが非同次の２階線形微分方程式を解く流れるなる。そして、（１）の特殊解y₀を求める方法としては、例えば、次の２つが考えられるだろう。

 

【解法１】

y₀=ax+bが（１）の解であるとすると、

　　

だから、これを（１）に代入すると

　　

右辺と左辺の係数を比較すると、a=1/2、b=5/4。

よって、

　　

したがって、（１）の一般解は

　　　　

 

【解法２】

（２）の基本解は。

ロンスキー行列式（ロンスキアン）

　　

なので、

　　

は、（１）の特殊解の１つ。

したがって、（１）の一般解は

　　

 

【参考】

同次方程式

 　　

の基本解をy₁、₂とするとき、

　　

は

　　

の特殊解の１つである。

ここで、

　　

 

 

この他にもいくつか特集解を求める方法はあるが、

ロンスキアンを使った解法２は一般的であるかわりに、計算量が多く、この問題に関しては【解法１】に劣る。

 

さてさて、次に

　　

を、直接、積分することによって、（１）の一般解を求める方法について考えてみよう。

（１）は、

　　

あるいは、

　　

と変形することが出来る。

 

【解法３】

　　

とおくと、①は

　　

という１階線形微分方程式になる。

この両辺を倍すると、

　　

③の中辺と右辺を倍すると

　　

ここで、とおくと、

　　

 

【解法４】

また、

　　

とおくと、②は

　　

この両辺を倍すると

　　

y'を消去するために、③と④の差を取ると

　　

ここで、とおくと、

　　

 

直接、積分することによって、（１）の一般解を求めることが出来た(^^)。

 

微分方程式に限ったことではないが、記事を読んでわかったで済ますのではダメで、どんな簡単な問題でもいいから自分で解く必要がある。

 

ということで、どのような方法を使ってもよいので、次の微分方程式を解くように。

 

問　次の微分方程式を解け。

 

（２）は、少しだけ意地悪問題。

 

というのは、（２）の特殊解は、ちょっと、予想が難しいから(^^)

 

（１）に関しては、

　　

とすると、

　　

だから、これを代入すると

　　

となり、これから

　　

が特殊解の１つであることがわかり、したがって、

　　

が（１）の一般解になる。

 

（２）でも同様に

　　

 

とし微分方程式の左辺に代入すると

　　

だから

　　

となってしまう(^^)。

 

困ったケロね〜。

 

ひょっとしたら、問の（２）には解がないのかもしれない(^^)

世の中、そんなに甘くないケロよ。