ロンスキアンと２階線形非同次微分方程式の特殊解

ロンスキアンと２階線形非同次微分方程式の特殊解

 

 

線形方程式

　　

を非同次方程式、

　　

を同次方程式という。

 

y₁、y₂を（２）の解であるとすると、その１次結合を

　　

とすると、

　　

となるので、も（２）の解になる。

 

また、ある定数c₁、c₂があって

　　

であるとする――少なくとも、c₁=c₂=0が存在する――。

両辺を微分すると

　　

よって、

　　

行列で表すと

　　

が成り立つ。

したがって、（ロンスキー）行列式

　　

であるとき、行列の逆行列が存在し、

したがって、ロンスキーの行列式（ロンスキアンという）

　　

が０でないならば、y₁、y₂は１次独立である。

 

以上のことから、次の定理が成り立つことがわかるだろう。

 

定理１

y₁、y₂が方程式（２）の解とする。

（ⅰ）　その一次結合も解である。

（ⅱ）　方程式（２）の１次独立な解を基本解という。y₁、y₂が（２）の基本解である必要十分な条件はロンスキアン

　　

であることである。

（ⅲ）　y₁、y₂が（２）の基本解ならば、一般解はである。

 

 

例１　２階線形同次方程式

　　

があるとすると、はこの微分方程式の解である。

また、

　　　　

なので、はこの微分方程式の基本解であり、一般解は

　　

 

 

例２　２階線形同次方程式

　　

があるとすると、はこの微分方程式の解。

また、

　　

したがって、はこの微分方程式の基本解。

よって、一般解は

　　　

 

【注意１】

　　

をロンスキー行列（ロンスキアン）と呼ぶ場合がある。こちらの方が主流派！！

 

【注意２】

２階線形同次方程式の基本解は１つ（１組）ではない。

たとえば、

　　

の場合、もこの微分方程式の解で、しかも、このロンスキアンなので、も基本解である。

 

 

定理２

非同次の２階線形方程式

　　

とその同次方程式（余関数）を

　　

とするとき、次のことが成り立つ。

（ⅰ）　（１）の一般解=同次方程式（２）の一般解＋（１）の特殊解

（ⅱ）　y₁、y₂を同次方程式（２）の基本解、とするとき、

　　

は（１）のⅰつの特殊解である。

したがって、に（３）を加えたものが同次方程式（１）の一般解である。

【証明】

（ⅰ）　y₀を（１）の特殊解とすると

　　

φを（２）の一般解とすると、

　　

 

（ⅱ）　この証明は問題にしますか(^^ゞ

（証明終）

 

問題　y₁、y₂を同次方程式の基本解、とするとき、

　　

が非同次の方程式の（特殊）解であることを確かめよ。

 

として、これをの左辺に代入し、真面目にコツコツと、途中で計算を間違えることなく、計算すれば左辺はR(x)になる。

 

 

定数変化法を用いた（ⅱ）の証明

【解】

が非同次方程式の解になるようにu₁、u₂を定めることにする。

　　

だから、

　　

そこで、

　　

となるようにu₁、u₂を定める。

の両辺をxで微分すると、

　　

よって、

　　

となり、φは非同次方程式

　　

の解である。

①の連立方程式をについて解くと、

　　

したがって、

　　

よって、

　　

（証明終）