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微分方程式の追加問題 [微分積分]

微分方程式の追加問題

 

 

問題1 2階線形微分方程式

  

は、同次方程式

  

の解をを知れば、と置くことによって、の1階線形微分方程式に帰着できることをしめし、これを用いて次の微分方程式を解け。

【解】

  

したがって、

  

よって、

  tuika-002.png

 

(1) 両辺をで割ると

これは、の場合で、だから、①より

  

両辺を倍すると

  tuika-003.png

したがって、

  

よって、

  

 

(2) 両辺をxで割ると

  

これは、

  

の場合で、y₀=xなので、①より

  

両辺をx倍すると

  tuika-004.png

したがって、

  tuika-005.png

(解答終)

 

ところで、

  

の特性方程式は

  

だから、はこの微分方程式の解である。

そして、これはP=−2Q=1R=0の場合だから、①より

  

したがって、

  tuika-006.png

がこの微分方程式の一般解になる。

 

実は、問題1の微分方程式(1)、(2)ともにEulerの微分方程式

  

である。

そして、オイラーの微分方程式はとおくと

  

したがって、(1)は

  tuika-008.png

という2階線形微分方程式になる。

 

だから、x≦0のとき、どうするんだという微妙なところがあるんですが、このあたりが気になるヒトは、

としてもらうことにして(^^ゞ。

微分方程式の解法については、うるさいことを言い出したら、ホント、キリがないから(^^ゞ。

 

 

問題2 次のオイラーの微分方程式を解け。

【解】

とおくと

  

だから、

(1)

  tuika-009.png  

 

(2)

  tuika-010.png

同次方程式

  

の一般解は

  

ところで、とすると、

  tuika-011.png

よって、は①の特殊解。

したがって、

  

(解答終)

 

 

では、どのような方法でもいいから、次の微分方程式の解を求めてもらいましょうか。

 

問題3 次の微分方程式を解け。

  

 

 


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