微分方程式の追加問題

微分方程式の追加問題

 

 

問題１　２階線形微分方程式

　　

は、同次方程式

　　

の解をを知れば、と置くことによって、の１階線形微分方程式に帰着できることをしめし、これを用いて次の微分方程式を解け。

【解】

　　

したがって、

　　

よって、

　　

 

（１）　両辺をx²で割ると

これは、の場合で、だから、①より

　　

両辺をx³倍すると

　　

したがって、

　　

よって、

　　

 

（２）　両辺をxで割ると

　　

これは、

　　

の場合で、y₀=xなので、①より

　　

両辺をx倍すると

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

ところで、

　　

の特性方程式は

　　

だから、はこの微分方程式の解である。

そして、これはP=−2、Q=1、R=0の場合だから、①より

　　

したがって、

　　

がこの微分方程式の一般解になる。

 

実は、問題１の微分方程式（１）、（２）ともにEulerの微分方程式

　　

である。

そして、オイラーの微分方程式はとおくと

　　

したがって、（１）は

　　

という２階線形微分方程式になる。

 

だから、x≦0のとき、どうするんだという微妙なところがあるんですが、このあたりが気になるヒトは、

としてもらうことにして(^^ゞ。

微分方程式の解法については、うるさいことを言い出したら、ホント、キリがないから(^^ゞ。

 

 

問題２　次のオイラーの微分方程式を解け。

【解】

とおくと

　　

だから、

（１）

　　　　

 

（２）

　　

同次方程式

　　

の一般解は

　　

ところで、とすると、

　　

よって、は①の特殊解。

したがって、

　　

（解答終）

 

 

では、どのような方法でもいいから、次の微分方程式の解を求めてもらいましょうか。

 

問題３　次の微分方程式を解け。