お前らに質問（６月２５日の答）

お前らに質問（６月２５日の答）

 

問題　f(x)=x³のx=a（a≧0）における微分係数f'(a)を次の（１）〜（４）で近似した場合の誤差を調べよ。

　　

ただし、h>0とする。

【解答（？）】

　　

また、f'(a)=3a²だから、

（１）式を使って計算した誤差は

　　

 

（２）式を使って計算した誤差は

　　

（３）、（４）式を使って計算した誤差は

　　

よって、（２）式を使ってf'(a)を計算したものが誤差が最も小さく、（２）式の方が（３）と（４）式よりも２倍精度がいいにゃ。

（解答終）

 

というわけで、３次関数の場合、（３）または（４）式を使ってf'(a)=3a²を近似したときの誤差が、（２）式の誤差の２倍になるというのは偶然でないってわけ。

また、（２）式は（１）式よりも誤差が小さいけれど、

a>0、h>0とすると、

（１）式の誤差は2ah+h²、（３）と（４）式の誤差は2h²だから、

　　

0<h<3aのときのみ、誤差が小さくなる。

 

たとえば、

a=0.01、h=0.1とすると、

　　

だから、

（１）式の場合

　　

（３）式の場合

　　

と、（３）式を使ったものの方が誤差が大きくなっている。

 

（３）を使ってf'(a)の近似値を求めるとき、一般に、（３）の方が（１）よりも精度よく計算できますが、aやh、さらに、関数f(x)の形によっては、（１）式の方が精度が良い場合があるので注意。

 

（３）、（４）式が使われるのは、差分法を用いた微分方程式の数値解法などの分野で使われるので、普通、この近似式を目にすることはないと思いますが、ただ、物理や工学の実験データなどの解析で、壁面などでのデータの勾配が欲しいときに使わわれることがあるかもしれない（右図参照）。

右の図のような場合、点Aにおける勾配を求めるには、（４）式を使うしかないにゃ。（AとBを直線で結び、その勾配を求めると、実際の勾配よりも大きすぎる！！）

まぁ、最小２乗法などを使って、多項式の近似曲線を求め、それから、点Aにおける勾配を求めるという方法も考えられるけれど、右の図の場合、３点しかないから、多項式による近似式の次数は最大で２次式にしかならないケロよ。

しかも、（４）式は、２次関数の接線の傾き、勾配は正確に求められる。

だとしたら、（４）式を使うべきなんじゃないかい(^^)。

数学の場合と違って、物理や工学の実験の場合、数式は与えられていない、しかも、観測できる点の数は限られており、観測されたデータには必ず測定に伴う誤差が含まれている。

というわけで、（３）、（４）式には使い道があるんだケロよ。

 

a≧0という制限を取りはらい、さらに、h≠0とすると、

（１）式で近似した場合の誤差は、

　　

（２）式の場合の誤差は

　　

となるので、

　　

すわわち、

　　

のとき、（１）式で近似したf'(a)の誤差は（２）式のそれより小さくなる。

 

試しに、a=−0.01、h=0.1とすると

f'(0.01)=3×0.01²=0.0003であるが、

　　

となり、（１）式で近似した方が精度よく計算できるにゃ。

どちらの近似値も論外で信用に足りないけれど、こういう逆転現象が起きることもある。