お前らに質問（６月２５日）

お前らに質問（６月２５日）

 

問題　f(x)は点aで微分可能とする。このとき、次の極限を求めよ。

【解答】

（解答終）

 

というわけで、hが十分小さいとき、

　　

とf'(a)を近似してみよう。

 

f(x)=xのとき、（１）〜（４）のいずれの式を使っても、f'(a)=aになる。

では、f(x)=x²の場合はどうかというと、

　　

になる。

したがって、（３）と（４）式は、f(x)=x²の点x=aにおける微分係数f'(a)=2aと正確に計算することができる。

 

では、ここで、お前らに質問！！

 

　　

 

一般に、（３）と（４）のどちらの近似式がf(x)のx=aにおける微分係数f''(a)を精度よく計算できるでしょうか。

また、それは、なぜでしょうか。

 

f(x)=x³とし、（３）と（４）を使い、f'(a)の近似値を計算し、f'(a)=3a²と近似値との誤差を調べるとわかるかもしれない。

 

試しに、a=1、h=0.1として計算すると、

　　

となり、（３）式を使ったほうが正確に計算できそうですが・・・。

 

また、f(x)=x⁴、a=1、h=0.1とすると、

　　

したがって、（３）、（４）式による誤差は

　　

となり、（４）式によるf'(1)の誤差は（３）式によるf'(1)の近似値の誤差の約２倍。

これは、偶然でしょうかね。

 

ところで、

　　

となるので（間違っているかもしれないので、お前ら、確かめるにゃ）、

　　

と近似することができるはずである。

 

f(x)=x³、a=1、h=0.1とすると、

　　

f(x)=x⁴、a=1、h=0.1とすると、

　　

 

似たような式（偏った差分）なのだけれど、f(x)=x³だと（４）式を使って計算したx=1における微分係数と同じ値なのに、f(x)=x⁴のx=1における微分係数を（５）式で計算すると、途端に誤差が大きくなり、精度が悪くなるにゃ。

難しいケロね。

 

下のグラフは、（５）式を用いてf(x)=x⁴のx=1における微分係数f'(1)を計算した近似値の誤差とhの関係を横軸、縦軸ともに対数目盛を使って表している。

 

 

このグラフを見ると、hが１０分の１になると、誤差が約１００分の１になっていることがわかる。

つまり、（５）式の近似式の誤差はh²に比例しているというわけ。このことを記号Ο(h²)で表す。

この関係は、（３）、（４）でも同じで、近似式の誤差Ο(h²)はなんだケロよ。

どうでもいいことだけれど、Ο(h²)のΟは、ギリシア文字のオミクロンの大文字で、アルファベットの大文字のOではないにゃ。

ではあるが、日本ではランダウのビックオーと呼ばれたりするにゃ。

 

f(x)=x⁴を例にしたが、これは一般の２回微分可能な関数f(x)について成り立つ関係で

　　　　

なんだケロよ。

順序が逆転してしまったが、

　　

である。

f(x)=x²のとき、

　　

だから、（１）、（２）の近似式の誤差は、hに比例し、それゆえに、O(h)になることがわかってもらえるのではないか。

「f(x)=x³の場合はどうか」だって。

　　

hは非常に小さい数だから、｜h²｜≪｜h｜となり、上の式のh²は無視することができて、

　　

となるので、やっぱ、O(h)だにゃ。

 

 

スピカは１つの星じゃないので、

 

 

アニメ「２つのスピカ」で使われていたのは「Venus Say ・・・」で、歌詞が少し違う「鯨」という曲があるにゃ、