第２３回 関数の近似式

第２３回　関数の近似式

 

§１　１次の近似式

 

関数f(x)が点aで微分可能ならば、(a,f(a))における接線は

　　

であり、点xがaの近くであれば、f(x)の値は

　　

と近似することができる。

したがって、x−a=hとおくと、x=a+hだから、|h|が十分小さいとき

　　

が成り立ち、（１）の右辺を１次の近似式という。

 

f(x)が２回微分可能ならば、拡張された平均値の定理（第１６回の定理６）より、

　　

となるので、f(a+h)を（１）式で近似した誤差は次のように評価することができる。

　　

 

特に、（１）において、a=0、h=xとおけば、次の近似式を得る。

　　

この近似式（２）の誤差は

　　

であるが、｜x｜が十分に小さいので、おおよそ

　　

の程度である。

 

例　とすると、

　　

だから、②式より

　　

特に、α=−1、α=1/2とすると、

　　

 

問１　次の近似を求めよ。

【解】

（解答終）

 

問２　の近似値を求めよ。また、その近似値はどの程度の誤差を含むか評価せよ。

【解】

32²=1024だから、

　　

また、

　　

とおくと、

　　

よって、誤差は

　　

の程度で、小数点４桁目を切り上げて、0.003。

したがって、

　　

（解答終）

 

だから、近似値は、誤差0.003の範囲に収まっていることがわかる。

 

 

 

 

問３　kの絶対値が十分小さいとき、(x−1)(x−2)(x−3)=kは、それぞれ、1、2、3に近い実数解をもつ。このことを既知として３つの実数解の近似値をhの１次式として表わせ。

【解】

　　

とする。

１に近い解をα=1+hとすると、

　　

｜h｜≪1なので、hの２次以上の項を無視すると、

　　

２に近い解をβ=2+hとすると、同様に

　　

３に近い解をγ=3+hとすると、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

【別解】

　　

とおくと、

　　

1の近い解を1+hとすると、

　　

1+hはf(x)=0の解なのでf(1+h)=0。

よって、

　　

２に近い解を2+hとすると、

　　

2+hはf(x)=0の解なのでf(2+h)=0。

よって、

　　

３の近い解を3+hとすると、

　　

3+hはf(x)=0の解なのでf(3+h)=0。

よって、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

h=1/10のとき、上の方程式の解（の近似値）は1.0544、1.8990、3.0467なので、上で求めた解の近似解とよく一致していることがわかる。

 

 

§２　２次の近似式

 

関数f(x)がx=aで２回微分が可能であるとし、点P(a,f(a))で共通の接線を有し、さらに２次微分係数f''(a)が等しい放物線を

　　

とおくと

　　

x=aでf(a)=g(a)、f'(a)=g'(a)、f''(a)=g''(a)であるから

　　

したがって

　　

点Pの近くでは、g(x)はf(x)に近接しているから、x≒aでは

　　

とみなすことが可能で、x=a+hとおけば

　　

という２次の近似式が得られる。

 

また、（４）式は、

拡張された平均値の定理より

　　

｜h｜が十分に小さいとき

　　

なので、

　　

と導くこともできる。

 

（４）式から（１）の誤差がほぼ程度であることが分かる。

 

また、（４）式においてa=0、x=hととおけば、次の２次の近似式を得る。

　　

とすれば、

　　

だから、

　　

α=−1、α=1/2のとき

　　

という２次の近似式を得ることができる。

 

問４　xが３に近いとき、次の式の近似式を求めよ。

　　

【解】

　　

とおくと、

　　

ゆえに、

　　

したがって、１次の近似式は

　　

２次の近似式は

　　

（解答終）

 

　　

となるので、

　　

とおくと、

　　

xが３に近いとき、tは０に近いので

　　

α=−1/2とおき、（６）を用いると、

　　

よって、

　　

と計算することもできる。

 

 

f(x)がn回微分可能であるとき、

f(a+h)をn次式で近似する場合、第１５回の問３の結果を用いると、

　　

a=0のとき、h=xとおくと、

　　

下の図は、y=sinxを１次、３次、５次式で近似したものだが、一般に近似式の次数を高くすれば高くするほど、近似式とよく一致するようになる。