お前らに質問（６月１４日 ロピタルの定理）の解答

お前らに質問（６月１４日　ロピタルの定理）の解答

 

「大学入試でロピタルの定理を使うと減点される」など、様々な都市伝説が存在するロピタルの定理。

 

ロピタルの定理というのは、

aを実数または±∞とする。

　　

または

　　

ならば、

　　

といったような感じの定理で、0/0や∞/∞の不定形の極限計算に使われる、それはそれはありがたい定理だ。

 

では、

お前らに質問。

 

次の答案は正しいか。

 

問題１　次の極限が存在すれば、その値を求めよ。

　　

【答案】

x→０のとき、sinx→０、x²→０なので、これは0/0の不定形の極限。

よって、ロピタルの定理より

　　

であるが、

　　

よって、

　　

は存在しない。

したがって、

　　

は存在しない。

（答案終）

 

のグラフは右の図のようになるから、たしかに、なる極限は存在しない。

 

 

しかし、

ロピタルの定理とは、

aを実数または±∞とする。

　　

または

　　

で、かつ、極限

が存在するならば、極限も存在して

　　

になるといったもの。

 

命題p,qを

とすると、

　　

 

で、上の答案の主張は

　　

ここで、記号¬は命題の否定を表す。

 

（２）と（３）は同値じゃないから、

が存在しないならば、は存在しない

という主張は成り立たない。

この問題の場合、運よく、が存在しなかったというだけ。

 

 

（２）と（３）が同値でないのは、

たとえば、

　p:日本人である

　q:日本語を話す

とすると、

日本人ならば日本語を話すだろうから、p⇒qという命題は（おそらく）正しい。

しかし、日本人以外でも、日本語を話すヒトがいるので、

　「日本人でないならば、日本語を話さない」

つまり、¬p⇒¬qは成立しないことからわかる。

現に、ネムネコがその証拠だにゃ。ネムネコはヒトならぬネコマタ、つまり、ネコのバケモノなのに、日本語の読み書きができるではないか！！

まっ、ネムネコはヒトじゃないけれど・・・。

 

ということで、

問題１の答案は、まったく、ナンセンス、的外れなものだから、この答案に点数をつけるとすれば０点だね。

いくら心優しいネムネコであっても、この答案は部分点をつけてあげれるところがないので、０点以外の点数をつけることができないにゃ。

 

続いて、次の答案は正しいケロか。

 

問題２　次の極限が存在すれば、その値を求めよ。

　　

【答案】

x→∞のとき、x+sinx→∞、x→∞。したがって、これは∞/∞の不定形の極限なので、ロピタルの定理より

　　

となる。

ここで、

　　

とおくと、n→∞のときx→∞

　　

一方、

　　

とおくと、n→∞のときx→∞

　　

したがって、

極限

　　

は存在しない。

ゆえに、極限

　　

は存在しない。

（答案終）

 

x≠0のとき、

　　

だから、

　　

なんですね。

 

つまり、

が存在しなくてもという極限が存在することがある。

 

問題１の答案は、

　　

は存在しないという結論があっていたのに０点だったのだから、問題２の答案は結論も間違っており当然０点。

問題２の答案は−２０点くらいつけてあげてもいいね(^^)。