第８回 一様連続

第８回　一様連続

 

区間Iで定義された関数f(x)が次の条件を満たすとき、f(x)はIで一様連続であるという。

任意のε>0に対して、あるδ>0が存在し、である任意のx、yに関して、

　　

 

例１　f(x)=xは、実数全体の集合Rで一様連続である。

何故ならば、任意のε>0に対して、δ=ε>0とすれば、

　　

であるから。

 

例２　は、実数全体の集合Rで一様連続である。

　　

となるので、任意のε>0に対して、δ=ε>0にとれば、

　　

 

例３　f(x)=x²は閉区間[0,1]で一様連続である。

　　

よって、任意のε>0に対して、δ=ε/2と定めれば、

　　

 

例４　は一様連続である。

　　

よって、任意のε>0に対して、δ=ε>0とすれば、

　　

となり、f(x)は一様連続である。

 

これらの例を見ると、関数f(x)がIで連続ならば、f(x)はIで一様連続と思われるかもしれないが、これは一般に成り立たない。

 

関数f(x)が区間Iで一様連続の定義を論理記号を用いて表すと、

　　

であるから、これを否定した

　　

つまり、

あるε>0があって、δ>0をどんなに小さくしても、

　　

となるxとyが存在する

がf(x)がIで一様連続でないことの定義である。

 

例５　実数全体の集合Rで定義された関数f(x)=x²はRで一様連続でない。

任意のδ>0に対して、1/n<δとなるような自然数nをひとつを定め、

　　

とすると、

　　

となる。

一方、

　　

となるので、δ>0をどんなに小さくしても、2より大きな点x、yが存在する。

よって、f(x)=x²はRで一様連続でない。

 

例６　開区間(0,1)で定義されるf(x)は(0,1)で一様連続でない。

任意のδ>0に対して、1/n<δとなる自然数nを一つ定め、

　　

とすると、

　　

また、このとき、

　　

よって、δ>0をどんなに小さくしても、1≧になる点x、yが(0,1)に存在する。

したがって、f(x)=1/xは(0,1)で一様連続でない。

 

具体的な関数f(x)の一様連続性を証明することは一般に難しいので、無証明で次の定理を紹介する。

 

定理

有界閉区間[a,b]で連続な関数f(x)は、[a,b]で一様連続である。

 

例４はこの例である。

 

定理

関数f(x)、g(x)がI上で一様連続、かつ、α、βが実数ならば、αf(x)+βg(x)はI上で一様連続である。

【証明】

α=β=０のときは明らか。

αとβがともに0でないとする。

f(x)、g(x)はI上で一様連続なので、任意のε>0に対して、あるδ₁>0、δ₂>0があって、

　　

だから、

δ=min{δ₁、δ₂}とすると、ならば、

　　

よって、αf(x)+βg(x)はI上で一様連続である。

（証明終）

 

関数の連続の時と異なり、関数f(x)、g(x)がI上で一様連続であっても、関数f(x)g(x)はI上で一様連続とは限らない。

f(x)=xは実数全体の集合Rで一様連続であるが、f(x)=g(x)=xとすると、関数f(x)g(x)=x²はRで一様連続でないことからこのことを確かめることができる。

 

 

定数K≧0が存在し、任意のx,yに対して、

　　

が成り立つとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるという。

 

問題　関数f(x)がリプシッツ連続ならば、一様連続であることを示せ。

【略解】

K=0のときは明らか。

K>0のとき、任意のε>0に対して、

　　

とすれば、

　　

よって、f(x)がリプシッツ連続ならば、f(x)は一様連続である。

 

 

問　次の関数はリプシッツ連続か。

 

問　次の関数はリプシッツ連続か。

【解】

（１）　x,y∈[0,1]とすると、

　　

したがって、リプシッツ連続である。

 

（２）　x,y∈[1,∞)とすると、

　　

したがって、リプシッツ連続である。

 

（３）

　　

だから、

　　

したがって、リプシッツ連続である。

（解答終）

 

（１）のf(x)=x²は、有界な区間であれば、一様連続かつリプシッツ連続であるが、有界でない区間、たとえば、[0,∞)といった半無限区間では一様連続でもリプシッツ連続でもない。

（２）のf(x)=1/xについては、a>0のとき、半無限区間[a,∞)で一様連続かつリプシッツ連続であるが、(0,1]や(0,∞)の場合、f(x)=1/xは一様連続でもリプシッツ連続でもない。