第９回 微分可能と微分係数

第９回　微分可能と微分係数

 

点aの近傍で定義された関数f(x)が、点aにおいて次の極限値

　　

をもつとき、この極限値を点aにおけるf(x)の微分係数であるといい、

　　

で表す。また、このとき、f(x)は点aで微分可能であるという。

 

微分係数の定義式（１）において、x−a=hとおくと、x→aならばh→０となるので、次のように書き換えることができる。

　　

 

関数f(x)に対して、

　　

が存在するとき、この極限値をf(x)の点aにおける右側微分係数といい、

　　

で表す。

また、

　　

が存在するとき、この極限値をf(x)の点aにおける左側微分係数といい、

　　

で表す。

 

定理１　（微分可能の必要十分条件）

関数f(x)が点aで微分可能である必要十分な条件は、f(x)が点aで右側、左側微分可能で、かつ、であることである。

【証明】

関数の極限の定理２より、

　　

が存在するための必要十分条件は、

　　

が存在し、その値が一致することである。

よって、証明された。

（証明終）

 

定理２（微分可能な関数の連続性）

関数f(x)が点aで微分可能であれば、f(x)は点aで連続である。

【証明】

x≠aのとき、

　　

f(x)は点aで微分可能なので、

　　

したがって、

　　

となり、f(x)は点aで連続である。

（証明終）

 

例　は点x=0で連続。

しかし、x>0のとき、f(x)=xなので、

　　

x<0のとき、f(x)=−xなので、

　　

となり、

　　

定理１より、f(x)は点x=0で微分可能でない。

 

 

問１　次の関数について、が存在すれば求めよ。

【解】

（１）

　　

だから、f'(0)=0。

 

 

（２）

　　

右側、左側微分係数のどちらも存在しない。

（解答終）

 

 

問２　次の関数はx=0で微分可能か。

 

【解答】

（１）　x≠０とすると、

　　

x→0のとき、は−1と1の間で激しく振動し、収束しないので、微分可能でない。

（下図参照）

 

 

 

（２）　x≠0のとき、

　　

であり、

　　

したがって、

　　

よって、x=0で微分可能で、f'(0)=0である。

（解答終）

 

問３　f(x)は点x=aで微分可能であるとする。このとき、次の値を求めよ。

【解】

（解答終）