お前らに質問 （集合と位相）

最近数学の記事を書いていない、本で見つけた次の問題を解いてみるにゃ。

 

問題　を有界閉集合の列で、単調減少とすると、であることを証明せよ。

 

見るからに、と仮定し、ハイネ・ボレルの定理を使って解けという問題。

ということで、この方針にしたがって、解くことにする。

 

【証明】

と仮定すると、

　　

になる。

は開集合だから、は有界閉集合F₁の開被覆である。

よって、ハイネ・ボレルの定理より、有限被覆がある。

一方、だから、であるので、

　　

となるが存在することになり、に矛盾する。

（証明終）

 

この証明では、ド・モルガンの法則

　　

や、

　　

などを使っている。

ここで、Rは実数全体の集合で、はFの補集合を表す。

 

さてさて、

　　

となるが存在すると、何故、に矛盾するかを答えてもらおうじゃないか。

書くまでもないと思うが、念の為に、Nは１以上の整数だケロよ。

ハイネ・ボレルの定理から、開被覆の中から適当なものを有限個選び

　　

とすることができ、としたものだからね。

 

答えられないヒトは、次のことを証明するとヨロシ。