お前らに問題 集合の相等と集積点 （３月３日）

ちょっとお前らに質問

 

次の２つの集合AとBがあるとする。

　　

Aのすべての元aはBの元であり、同時に、Bのすべての元bはAの元であるので、集合の相等の定義から、

　　

になる。

 

一方、集合Aの要素の個数（濃度）をn(A)で表せば、n(A)=3、集合Bの要素の個数n(B)=６――誰がなんと言おうが、Bには集合の元が６つ――なので、

　　

になる。

 

集合の濃度論的には、

　　

になってもらわないと困る。

（１）式が成り立たないと、数学の基礎が揺らいでしまう。これは由々しき問題だケロ(^^ゞ。

 

この絶体絶命のピンチをどう乗り越えたらいいのか、お前ら、考えるにゃ。

 

ここまでは前振りなので、真に受けるなよ。

 

数学には集積点と呼ばれるものがある。

集積点の定義は、たとえば、次のようなものである。

 

定義　AをXの部分集合であるとする。Xの点xがA−{x}の触点であるとき、xをAの集積点という。

 

これでは、何を書いてあるかわかりにくいと思うので、改めて、集積点を次のように定義することにする。

 

任意の正数ε>0に対し、

　　

となるa∈Aが存在するとき、xをAの集積点という。（少しアレンジを加えているが、とある数学の本に出ている定義。）

　――なので、x=aではなく、A−｛x｝を表している。そして、（２）は、点xの近傍の中にxと異なるAの点aが少なくとも１つ存在することを意味している。――

 

では、この集積点の定義を踏まえて、次の問題を解いてもらおうか。

 

 

問題　次の問に答えよ。

（１）　の集積点は０だけであることを示せ。

（２）　の集積点を求めよ。

 

 

この問題の集合の場合、集合A、Bの濃度｜A｜、｜B｜はともに可算濃度（アレフゼロ）なので、｜A｜=｜B｜となり、問題は発生しない。

しかし、集合Aの任意の元は集合Bの元であり、かつ、集合Bの任意の元は集合Aの元でもあるので、

　　

が成立し、A、Bの集積点はともに０になってしまう。

 

こんなことをことさら問題で問うとているからには、０以外にBの集積点が存在するに違いない。いやいや、これは引掛け問題で、Bの集積点は０だけかもしれない(^^ゞ。

 

そして、

不親切きまわりないことに、この問題と集積点の定義（２）が出ている数学の本には、この問題の答が載っていない！！ のであった。

 

 

ところで、触点って何だ。

 

任意の正数ε>0に対し、

　　

であるとき、xは集合Aの触点という。

ここで、

　　

なお、Rは実数全体の集まりである。