集積点についてのよもやま話

集積点についてのよもやま話

 

集積点　点aが集合Aの集積点（accumulation point）であるとは、aの任意の近傍の中にaと異なるAの点が少なくとも１つ存在することである。

このことは、次のように言い換えられる。

任意の正数ε>0に対して、

　　

となるx∈Aが存在する。

 

定理　Aが閉集合である⇔Aの集積点はすべてAに含まれる。

 

昨日、

　　

の集積点を求めよという問題を出したけれど、この問題を出したのは、上の定理に関わる内容だから。

 

たとえば、

　　

という１点集合Aがあるとすると、これは閉集合である。

 

【証明】

1が{1}の触点であることは明らか。

x≠1とし、これがAの触点であるとすると、任意のε>0に対して、

　　

でなければならない。

εは任意の正数なので、

　　

とすると、

　　

となり矛盾。

よって、一点集合A={1}の触点は1のみなので、Aは閉集合である。

（証明終）

 

ここで、

　　

であり、B(x;ε)はxの（イプシロン）近傍のこと。

 

あるいは、

 

【証明】

実数全体の集合Rに対するA={1}の補集合

　　

は、開集合{x∈R|x<1}と開集合{x∈R|x>1}の和（集合）だから開集合。

よって、A={1}は閉集合である。

（証明終）

 

 

さてさて、A={1}の集積点は存在しますか。

任意の正数ε>0に対して、

　　

となるx∈{1}は存在しますか？

 

存在しないとすれば、冒頭に示した定理が揺らぐにゃ。

だって、{1}の集積点は存在しないのだから、{1}の集積点のすべてが{1}に含まれたりしないケロよ。

もちろん、{1)の集積点の集まりは空集合∅だから、

　　

となるので、 「Aの集積点はすべてAに含まれる」が成立すると言えなくもないが、誤解を招く表現であり、読者に要らぬ混乱を招くので、こういう書き方は避けるべきだと思うにゃ。

 

ところで、

　　

を集合と考えると、この集積点は０のみということになるが、Bを集合ではなく数列、点列と考えると、すこし事情が変わってくる。

 

定義１　（数列の集積点）

数列の部分列がaに収束するならば、このaを数列の集積点（accumulation point)という。

 

の部分列

　　

は1に収束するので、1はこの数列の集積点ということになる。

 

数列の場合、

　　

と書き、普通、

　　

とは書かないという文句が聞こえそうですが、このように書き表す流儀もあるんだにゃ。

 

たとえば、以下の英語のサイトを参照。

https://solitaryroad.com/c450.html

 

つまり、

問題　次の集積点を求めよ。

　　

 

の答は、

これを集合（というか通常の位相）として考えれば、0であり、

数列（の集積点）と考えれば、０と１が答ということになる。

 

じゃぁ、数列

　　

の集積点はどうなりますか。

なお、この集積点は定義１の意味だにゃ。