確率・統計の追加問題２

確率・統計の追加問題

 

問題１　つぼの中に４個の白球と３個の赤球が入っている。このつぼの中から無作為に１球ずつ取り出し、赤球が出たら止めるものとする。ただし、取り出した球はつぼに戻さない。このとき、次の問に答えよ。

（１）　取り出される白球の数xの確率分布を求めよ。

（２）　xの平均（期待値）を求めよ。

（３）　xの標準偏差を求めよ。

【解答】

（１）　xの取りうる値は0、1、2、3、4のいずれかで、x=rとなるのは、r回続けて白球が出て、r+1回目に赤球が出る場合である。その確率をとすると、

　　

したがって、確率分布は

 

x	0	1	2	3	4
p	3/7	2/7	6/35	3/35	1/35

 

（２）　xの平均をmとすると

　　

 

（３）　xの標準偏差をσとすると、

　　

（解答終）

 

 

問題２　つぼの中に４個の白球と３個の赤球が入っている。このつぼの中から同時に３個を取り出すとき、それに含まれる白球の個数をxとする。このとき、次の問に答えよ。

（１）　xの確率分布を求めよ。

（２）　xの平均mと標準偏差σを求めよ。

【解答】

（１）　白球がx=r個とり出される確率をで表すと

　　

となるので、

　　

したがって、確率分布は

 

x	0	1	2	3
p	1/35	12/35	18/35	4/35

 

（２）

　　

（解答終）

 

 

問題３　表裏の出る確率が同様に確からしい硬貨を３枚同時に投げる試行を繰り返す。各回において表の出る回数をxとする。このとき、次の問に答えよ。

（１）　xの確率分布を求めよ。

（２）　xの平均と標準偏差を求めよ。

【解答】

（１）　表がx=r枚出る確率をで表すと、独立試行の確率より

　　

したがって、確率分布は次のようになる。

 

x	0	1	2	3
P	1/8	3/8	3/8	1/8

 

（２）　xの平均をm、標準偏差をσとすると、

　　

（解答終）

 

１回の試行で事象Aの怒る確率がpのとき、n回の独立試行中Aがr回起こる確率は

　　

n回の独立試行で、Aの起こる回数をxとすると、xは0,1,2,・・・,nというn+1個の値をとる確率変数で、その確率分布は次のようになる。

 

　　

また、平均（期待値）m、標準偏差は

　　

１枚の硬貨を３回投げる試行で表が出た回数をxとして考え、この公式を用いると、（２）の平均、標準偏差は次のように求めることができる。