テーラー展開を使って微分本方程式の初期値問題を解く２

テーラー展開を使って微分本方程式の初期値問題を解く２

 

f(x)を級の関数とする。このとき、f(x+h)はxで次のようにテーラー展開が可能である。

　　

特にn=1のとき、

　　

で、これは平均値の定理と呼ばれる。

これから、

　　

となり、f(x+h)をと近似したときの誤差がのオーダー、すなわち、であることがわかる。

また、f(x+h)をxのまわりで１次の項までテーラー展開すると、

　　

となる。

したがって、h≡0のとき、

　　

となり、

　　

と近似したときの誤差がO(h)であることがわかる。

 

次に、

　　

という常微分方程式の初期値問題について考えよう。

最もシンプルな方法は、

　　

を用い、これを左辺におき、

　　

と近似するものであろう。上述の議論から、

　　

と近似したときの（打ち切り）誤差がh²程度であることがわかる。

　　

と、点列を等間隔hに配置すれば、次の漸化式を得ることができる。

　　

これがオイラー法と呼ばれるもので、オイラー法の局所的な打ち切り誤差はO(h²)、すなわち、h²程度である。

 

次の常微分方程式の初期値問題

　　

を、h=0.1としてオイラー法で解いてみることにする。

このとき、オイラー法は

　　

となり、

　　

だから、

　　

となる。

初期条件は

　　

となるので、

　　

を用いて、の値を定めることができる。

 

表計算ソフトを用いてx=2まで計算した結果は次のとおり。

 

 

オイラー法を用いて計算を進めるにつれ、厳密解

　　

との誤差が増大してゆくことがわかる。

 

そこで、テーラー展開を利用して、より精度よく計算する手法を考えることにする。

　　

であるから、合成関数の微分法よりy''は

　　

となる。

一方、y(x+h)のxにおけるテーラー展開を２次の項までとると、

　　

したがって、

　　

これを微分方程式の左辺に代入すると、

　　

となる。

そして、これから、次の漸化式を得ることができる。

　

この漸化式の局所打ち切り誤差はO(h³)なので、オイラー法よりも精度よく計算できるはずである。

 

この漸化式を用いて、常微分方程式の初期値問題

　　

の近似解を求めることにする。

このとき、

　　

となるので、

　　

したがって、

　　

h=-0.1として、表計算ソフトを用いて解いた結果は次の通りである。

 

 

 

この表とグラフを見ると――テーラー展開による方法の数値解と厳密解はほとんど一致しているので、このグラフでは同一の曲線に見える――、劇的に計算精度が向上していることがわかる。

この問題の場合、高次微分が

　　

と求められるので、より高精度の

　　

漸化式を得ることができる。

ちなみに、この漸化式の局所打ち切り誤差は。

h⁵の項までとれば、４次のルンゲ・クッタ方よりも高精度に計算することが可能である。