論理の問題２ [集合と論理]
論理の問題２
問題１ p、q、r、sを任意の命題とするとき、
と
が同値であることを示せ。
【解答】
（解答終）
問題２ 実数a、b、x、yがa+b=1、x+y=2、ax+by=3を満たすならば、a、b、x、yのうち、少なくともひとつは負の数であることを示せ。
【解答】
背理法で示すために、結論「a、b、x、yのうち、少なくともひとつは負の数である」を否定すると、「a、b、x、yのすべては０以上である」。
そこで、
と仮定する。
a+b=1だから、
x+y=2だから
したがって、
となり、ax+by=3に矛盾する。
したがって、
a、b、x、yのうち、少なくともひとつは負の数である。
（解答終）
問題３ 実数a、b、xに対して、次の命題の真偽を理由をつけて述べよ。
（１） ｜a｜+｜b｜>｜a+b｜ならばab≠0である。
（２） a≦xとx≦bを同時に満たすxはすべて、x<bを満足する。
（３） a≦bならばx≦aを満足するxはすべて、x≦bを満足する。
（４） f(x)=x²+3x+2とする。f(a)>0ならばaはf(x)=0の２根の大きいほうよりもさらに大きい。
【解答】
（１） 対偶をとると、
ab=0ならば｜a｜+｜b｜≦｜a+b｜
ab=0と「a=0またはb=0」は同値なので、
「a=0またはb=0」ならば｜a｜+｜b｜≦｜a+b｜
となる。
これは真であるから、この命題は真である。
（２） 偽。反例：a=b=x=1
（３） 偽。反例：a=b=x=1
（４） f(x)=x²+3x+2=0の解はx=−1、−2。a=−3とすると、f(−3)=2>0であるが、a<−1。よって、この命題は偽。
（解答終）
問題４ 「実数a、bがともに有理数ならば、a+bは有理数である。よって、もしa+bが無理数であるならば、a、bはともに無理数である」という推論は正しいか。正しくなければ、正せ。
【解答】
a=√2、b=−√2とすると、a、bはともに無理数であるが、
は有理数で、無理数でない。
有理数全体の集合をQ、無理数の集合を
とすると、命題命題「実数a、bがともに有理数ならば、a+bは有理数である」の対偶は、「a+bが無理数であるならば、aまたはbは無理数である」である。
だから、「a+bが無理数であるならば、aまたはbは無理数である」とすればよい。
（解答終）
問題５ 条件p(x):x²−6x+8<0、q(x):x²−9x+8>0について、
（１） 命題「p(x)またはq(x)」の真理集合Sを求めよ。
（２） すべてのx∈Sについて、x²−ax+8≠0のための条件を求めよ。
【解】
（１） x²−6x+8=(x−2)(x−4)<0だから、この解は2<x<4。また、x²−9x+8=(x−1)(x−8)>0だから、この解はx<1またはx>8。
したがって、
（２） この条件は方程式x²−ax+8=0の解が、虚数解であるか、Sの補集合
に属するとき。
x²−ax+8=0が虚数解を持つ条件は
x²−ax+8=0が重根をもつときは、x=±2√2となり不適。
x²−ax+8=0が相異なる２実根をもつとき、f(x)=x²−ax+8とすると、f(1)≧0、f(2)≦0、f(4)≦0、f(8)≧0でなければならない。
よって、
したがって、6≦a≦9。
ゆえに、−4√2<a<4√2、または、 6≦a≦9。
（解答終）
問題６ 次の条件は、すべてのxについてx²+px+q>0であるための何条件であるか。ただし、p、qは実数とする。
【解】
すべてのxについてx²+px+q>0の必要十分な条件は
である。
という包含関係が成立するので、
（１） 必要条件 （２） 十分条件
（解答終）
問題７ ある学者が古今東西の政治家について調べて、次のような説を立てた。
（１） A型のものはすべてB型でない。
（２） C型でないものはB型でない。
（３） C型のものはすべてD型でない。
（４） E型のものはすべてB型である。
この説から次のどの結論が出るか。その理由を（ベン）図を用いずに書け。
（あ） A型のものはE型でない。
（い） D型であってE型のものがいる。
（う） E型のものはすべてC型である。
（え） A型であってC型のものがいる。
【解答】
命題「A型である」、「B型である」、「C型である」、「D型である」、「E型である」の真理集合をそれぞれA、B、C、D、Eで表す。
（１）より、A∩B＝∅である。
（２）の対偶は「B型のものはC型である」だから、B⊂C。
（３）より、C∩D＝∅。
（４）より、E⊂B。
また、
（あ）はA∩E＝∅。
（い）はD∩E≠∅。
（う）はE⊂C。
（え）はA∩C≠∅。
である。
（１）と（３）より、A∩B＝∅かつE⊂BからA∩E＝∅となるので、（あ）は正しい。
（２）と（４）から、B⊂CかつE⊂BからE⊂B⊂Cとなるので、（う）は正しい。
（２）と（４）よりE⊂C、（３）よりC∩D＝∅であるから、E∩D=∅となり、（い）は偽である。
（え）については、（１）のA∩B=∅と（２）のB⊂CからA∩C＝∅の真偽は不明。
したがって、（あ）と（う）。
（解答終）
2019-02-05 12:00
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