第７回 複合条件命題と真理集合

第７回　複合条件命題と真理集合

 

§１　条件命題の否定とその真理集合

 

条件命題a(x)に対して、「a(x)でない」という条件命題をa(x)の否定と言い、記号やなどであらわす。

また、Aをa(x)の真理集合、すなわち、

とするとき、a(x)の否定の真理集合とa(x)の真理集合Aとの間には次の関係が成立する。

ここで、はAの補集合である。

また、a(x)の二重否定の真理集合は

である。

 

§２　条件命題の連言、選言とその真理集合

 

条件命題a(x)、b(x)の真理集合をそれぞれA、Bとする。

このとき、

　　「a(x)∧b(x)」と「x∈Aかつx∈B」

　　「a(x)∨b(x)」と「x∈Aまたはx∈B」

は同値。

したがって、

とすると、次の関係が成立する。

また、条件命題a(x)、b(x)、c(x)の真理集合をA、B、Cとするとき、

が成り立つので、真理集合A、B、Cの間には次の結合法則が成り立つ。

 

問　a(x)、b(x)の真理集合をA、Bとするとき、真理集合AとBの間には次の交換法則が成り立つことを確かめよ。

 

§３　分配法則とド・モルガンの法則

 

条件命題a(x)、b(x)、c(x)の真理集合をそれぞれA、B、Cとする。

条件命題には分配法則

が整理するので、真理集合A、B、Cの間には次の関係が成立する。

また、ド・モルガンの法則

が成り立つので、

 

集合と論理が入り乱れていて、胡散臭い話だな〜。多大の疚しさと後ろめたさを感じつつ書いているので、 書くのが嫌になってしまう(^^ゞ

 

問題　x、yを含む条件命題a(x,y)、b(x,y)が

であるとき、次の条件命題の真理集合を求め、座標平面上に図示せよ。

【解答】

a(x)、b(x)の真理集合をそれぞれA、Bとすると、

で、Aはy=x²+1の下側、Bはy=x−1の上側である。

　

（破線は含まない）

 

（１）　の真理集合は

したがって、次のようになる。

 

 

（２）　a(x,y)∧b(x,y)の真理集合A∩B

 

 

（３）　a(x,y)∨b(x,y)の真理集合はA∪B

 

 

（４）

（３）より、A∪B=Uだから、