一様連続とリプシッツ連続の問題

一様連続とリプシッツ連続の問題

 

任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、次の関係が成立するとき、関数f(x)は一様連続という。

　　

 

より厳密に書けば、例えば、次のようになるだろう。

 

f(x)を区間Iで定義された関数とする。

任意の正数εに対して、ある正数δが存在し、任意のx₁,x₂∈Iに関して、

　　

が成り立つとき、f(x)は一様連続であるという。

 

論理記号で書くと、

　　

が成立するとき、f(x)は一様連続であるという。

 

たとえば、

　　

とすると、

　　

となるので、

　　

したがって、任意のε>0に対して、

　　

とδを定めれば、

　　

が成立するので、f(x)=sin xは一様連続である。

 

もちろん、

平均値の定理より、x₁≠x₂とすると、

　　

となるcがx₁とx₂の間に存在するので、

　　

したがって、任意の正数εに対して、

　　

とδを定めると、x₁=x₂の場合も含めて、

　　

としてもよい。

 

問１　次の関数f(x)がI=[0,1]で一様連続であることを示せ。

　　

【解】

任意の正数ε>0に対して、

　　

と定めると、任意のx₁、x₂∈[0,1]に関して、

　　

したがって、f(x)は一様連続である。

（解答終）

 

問２　平均値の定理を用いて、

　　

が一様連続であることを示せ。

 

どうしてもできないヒトは、次の定理を使ってもよいが・・・。

 

定理１　有界閉区間Iで定義される関数f(x)がIで連続であれば、f(x)はIで一様連続である。

 

問３　Rを実数全体の集合とするとき、

　　

は一様連続でないことを示せ。

（ヒント）

f(x)が区間Iで一様連続であるとは、

　　

したがって、f(x)が一様連続でないとは、これを否定した

　　

になる。

そこで、

nを自然数とし、δ=1/n、さらに、

　　

とすると、

　　

となり、

　　

nをどんなに大きくとり、δを限りなく0に近づけても、x₁とx₂を

　　

にとれば、は1より小さくならない！！

 

ヒントではなく、答を書いたようなものであるが・・・。

 

区間Iで定義される関数f(x)が、任意のx₁、x₂∈Iに対して、

　　

であるK≧0である実定数Kが存在するとき、f(x)はIでリプシッツ連続であるという。

 

定理２　f(x)がリプシッツ連続であれば、f(x)は一様連続である。

【略証】

K=0のとき、任意のx₁、x₂に対して、

　　

になるので、一様連続。

K>0のとき、任意の正数εに対して、

　　

にδを定めると、

　　

（略証終）

 

問４　[0,1]で定義される関数f(x)=x²が[0,1]でリプシッツ連続であることを示せ。

 

問５　　f(x)を区間Iで微分可能な関数とする。任意のx∈Iに対して、

　　

ならば、任意のx、y∈Iに対して

　　

が成り立つ。逆も成り立つことを示せ。

 

ここまではサービス問題だケロ。

 

さぁ、お前らに次の問題を解いてもらおうじゃないか。

 

問題　関数

　　

について、次の問に答えよ。

（１）　f(x)が[0,1]で一様連続であることを一様連続の定義に従って示せ。

（２）　f(x)は[0,1]でリプシッツ連続でないことを示せ。

 

 

言っておくが、（１）の解答で定理１を使った奴はぶっ殺す。

タコ殴りしたあと、簀巻きにして、川に流してやるケロ！！

 

 

念の為に言っておくけれど、

　　

で、f'(x)は上に有界じゃないから、平均値の定理は使えない！！

 

 

aを0<a<1である任意の実数とし、[a,1]とすれば、たとえ、f'(x)がどんなに大きな値であろうと、所詮、有限の値だから、平均値の定理を使うことができて、f(x)は[a,1]でリプシッツ連続であり、したがって、一様連続であることを示すことができるが・・・。

さらに、[a,1]ではなく、(a,1]としたら、f(x)はリプシッツ連続か？