つかぬことをお尋ねします（論理）

つかぬことをお尋ねします。

 

f(x)を区間Iで定義される関数とし、a∈Iとする。

任意の正数εに対して、ある正数δが存在し、

　　

が成立するとき、関数f(x)は点aで連続であるという。

 

論理記号で書くと、

a∈Iとする。

　　

が成り立つとき、関数f(x)は点aで連続であるという。

 

では質問。

「f(x)が点aで連続でない」とはどういうことケロか。

つまり、（１）の否定はどうなりますか。

 

答えてもらおうじゃないか。

 

ところで、お前らは、命題

　　

の否定を知っているケロか。

 

p	q
T	T	T	F	F
T	F	F	T	T
F	T	T	F	F
F	F	T	F	F

 

念のために、書いておいたにゃ。

 

なお、上の真偽表の記号

　　

は「pならばq」の否定を表すにゃ。

大学の論理学の記号で書くと

　　

や

　　

などになるにゃ。

同様に、は命題qの否定。

 

なお、記号Tは真（True）、Fは偽（False）を表しているにゃ。

 

 

「pならばq」、すなわち、p⇒qは、

　　

と定義されるので、これから、「pならばq」の否定を

　　

としてもよい。

また、

全称命題「全てのxに対してp(x)」

　　

の否定は、

　　

特称命題「あるxが存在してp(x)」、あるいは。「p(x)をみたすxが少なくとも１つ存在する」

　　

の否定は

　　

になる。

高校の数学で、

　「すべてのxに対してp(x)である」の否定は「p(x)でないｘが少なくとも一つ存在する」

　「p(x)であるxが少なくとも１つ存在する」の否定は「全てのxに対して、p(x)でない」

であるということを習ったはず。

これを単に論理記号で表しただけだケロよ。

 

そして、これらの公式（？）を当てはめて機械的に計算すると、

これをよりパワーアップしたものを明日の数学の記事で使う予定なので、お前らにちょっと訊いてみた次第。

【答え】

 

　　

これを人間語に翻訳すると、

「あるε>0が存在し、任意のδ>0に対して、

　　

を満たすxがIに存在する」

とかになりましょうか。

 

例えば、次のような関数f(x)があるとする。

　　

この関数f(x)がx=0で連続でないことは明らかでしょう。

 

このときa=0だから、

ε-δ論法的には、

「ε=1とすると、

どんな正数δ>0に対しても、たとえ、どんなにδ>0を小さくしても、

　　

となるxがx<0に（少なくとも１つ）存在する」ので、x=0でこの関数は不連続ということになる。

現に、どのようなδ>0に対しても、−δ<x<0を満たす点xを一つとると、

　　

だから、

　　

となっているでしょう。