極限の図形への応用

極限の図形への応用

 

問題１　半径rの円Oの周をn等分したときのしたときの１つの弦をABとするとき、△OABの面積を求め、これを利用して円の面積Sを求めよ。

【解】

だから、

　　

よって、

　　

とおくと、n→∞のとき、θ→0となるので、

　　

（解答終）

 

このように、半径rの円に内接する正多角形の極限を用いて、円の面積πr²を求めるのだとすると、

高校以来おなじみの三角関数の極限の公式

　　

の証明は、循環論法となり、証明にならない。

何故ならば、この公式の証明に円（弧）の面積を使っているから！！

 

 

問題２　中心角がθである扇型OABの弧ABと２つの半径OA、OBに接する円をCとする。

　　

とおくとき、

（１）　f(θ)を求めよ。

（２）　を求めよ。

【解】

（１）　直線OCと弧ABの交点をD、Cから半径OAに下ろした垂線の足をHとする。

OA=R、CH=rとすると、

　　

rについて解くと、

　　

したがって、

　　

 

（２）

　　

（解答終）

 

 

問題３　三角形ABCにおいて、AB=a、AC=b、∠BAC=θ、∠BACの２等分線の三角形内にある部分ADの長さをlとする。

（１）　△ABDの面積をa。lとθで表わせ。

（２）　lをa、bとθで表わせ。

（３）　a、bを一定に保ち、θを0に近づけるとき、を求めよ。

【解】

（１）　

 

（２）

　　

また、

　　

△ABC=△ABD+△ADCだから、

　　

 

（３）

　　

（解答終）

 

（３）の別解として、次のものをあげておく。

　　

 

 

問題４　直角三角形ABCにおいて、∠A=π/2、AB=a（一定）とする。頂点AからBCに下ろした垂線の足をHとし、∠B=θとするとき、次の値を求めよ。

　　

 

【解】

（１）

　　

したがって、

　　　

 

（２）　だから、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

 

問題５　半径rの円周上の定点Aから弦AP、および接線ATを引き、AP=TAになるようにに、直線TPとAをAを一端とする直径の延長をQとする。

点Pが円周上を限りになくAに近づくとき、線分AQの長さはどうなるか。ただし、ATはAを一端とする直径に関してAPと同じ側にあるものとする。

【解】

∠PATをθとすると、条件より、

　　

また、∠Q=θ/2（注）であるから、

　　

 

（解答終）

 

（注）

接弦定理から∠ ABP=∠TAP。

AからPTに下ろした垂線の足をHとすると、△THA∽△TAQ。
また、△ATPは条件よりAP＝TAの二等辺三角形だから、∠TAH＝θ/2となり、これから∠Q=θ/2である。