少しだけ行列式と外積のお話

少しだけ行列式と外積のお話

 

高校の数学で、現在、行列は学ばないので、行列や行列式に馴染みのない、あるいは、馴染めないヒトが増えているように思う。

そこで、少しだけ、行列式の話をする。

 

２次の正方行列

　　

の場合、行列式は

　　

で定義される。

 

この行列式を使うと、連立方程式

　　

の解は、｜A｜=ad−bc≠0のとき、

　　

と、行列式を用いて求めることができる。

そして、

連立３元一次方程式

　　

の解は、

　　

となる。

（４）、（５）などをクラーメルの公式という。

そして、このクラーメルの公式は、より一般の連立n元一次方程式にも拡張ができ、行列式の具体的な計算法を知らずとも、その解を形式的に示すことができる。

と同時に、このクラーメルの公式から、未知数の係数が作る行列式

　　

であるとき、連立方程式の解が１つに定まらないことがわかる。

何か、凄いと思わない(^^)

 

連立千元一次方程式であろうが、一万元の連立方程式であろうが、このクラーメルの公式を使えば、たちどころに求めることができるはずなんですが、実際、このクラーメルの公式がコンピュータを用いた連立方程式の解法で使われることはない。

クラーメルの公式は計算量が膨大になるので、いくら単純な繰り返し計算を高速に計算できるコンピュータとはいえ、計算時間がトンデモなくかかってしまうんでね。

 

とはいえ、連立方程式の解を求める上で、行列式がいかに便利なものであるかは、理解してもらえたのではないか。

 

以上は、代数的なお話。次に、幾何学的な観点から行列式を見てみることにする。

 

とし、下の図に示されるような、この２つのベクトルが作る平行四辺形OABCの面積Sを求めることにする。

 

 

このとき、面積Sは

　　

となる。（θ=0、πのとき、は平行となり、平行四辺形にならないので除外）

との内積の定義式

　　

と三角関数の関係式

　　

を使うと、（７）は

　　

となる。

また、

　　

であるので、

　　

となる。

ここで、

　　

に注目すると、の作る平行四辺形OACBの面積は、

　　

となっている。

つまり、行列の行列式の絶対値はの作る平行四辺形OACBの面積になっているってわけ。

 

また、基本ベクトル

　　

の行列Aによる像は

　　

である。

したがって、行列式の絶対値は、xy平面の基本ベクトルの作る長さ１の正方形の一次変換Aによる像の面積になっていると考えることもできる。

さらに、このことから、行列式は、原像と一次変換Aによるその象の面積の拡大率をあらわすと考えることもできる。

なぜ、重積分の変換公式で

　　

と、ヤコビアンJ

　　

が藪から棒に出てくるかといえば、ヤコビアンは面積の拡大縮小率だからだ。

 

さてさて、３次元ベクトルとの外積は、

　　

だにゃ。

特に、のとき、

　　　　

となる。

そして、はとという２つの平面ベクトルの作る平行四辺形の（符号付き）面積になっていることに気づいてもらえるのではないか。