数列の極限の復習 [位相入門]
数列の極限の復習
自然数全体の集合Nから実数全体の集合Rへの写像
を（実）数列と言い、
、あるいは、単に
で表す。
数列において、任意の正数εに対して、適当な自然数mを選ぶと、n>mのすべての自然数nについて、
となるとき、
であらわし、数列はαに収束するという。また、αを数列の極限値という。
定理１ （極限値の一意性）
数列が収束するならば、その極限値は１つである。
【証明】
実数αとβを数列の極限値とする。
αとβはの極限値なので、任意の正数εに対し、
となる自然数m₁、m₂が存在する。
そこで、
とおくと、n>mならば、三角不等式より、
εは任意の正数なので、α−β=0、すなわち、α=βとなる。
（証明終）
定理２ （数列の極限の公式）
とするとき、次のことが成り立つ。
【略証】
（１） c=0のときは明らか。
c≠0のとき、だから、任意の正数εに対して、ある自然数mが存在し、
よって、
（２） だから、任意のε>0に対して、ある自然数m₁、m₂があって、
よって、とおくと、
（３） 任意のε>0に対し、
とすると、ある自然数mが存在して、
したがって、
（４） 任意のε>0に対して、
とおくと、ある自然数mが存在して、
となる。
このとき、
よって、
したがって、
ゆえに、（３）より
（略証終）
定理３ （ハサミ打ちの定理）
数列
に対して、
が成り立ち、
とする。このとき
である。
【証明】
数列はαに収束するので、任意の正数εに対して、ある自然数m₁があって、
数列
はαに収束するので、任意の正数εに対して、ある自然数m₁があって、
とおくと、n>mならば、
よって、
（証明終）
定理４ （数列の大小と極限）
数列
は収束し、
が成り立つならば、
が成り立つ。
【証明】
とし、α>βと仮定する。
数列はαに収束するので、
に対して、ある自然数m₁があって、n>m₁ならば、
数列
はβに収束するので、に対して、ある自然数m₂があって、n>m₂ならば、
したがって、とおくと、n>mならば、
となり、矛盾する。
よって、α≦βである。
（証明終）
数列のすべての元について、nによらない正の定数Mがあって、
となるとき、数列は有界であるという。
定理５ （収束する数列の有界性）
収束する数列は有界である。
【証明】
数列が実数αに収束するとすると、ε=1に対して、あるmが存在して、
である。
そこで、nによらない正の定数Mを
とおくと、
である。
また、n>mのときは、
よって、すべての自然数nについてが成り立つので、数列
は有界である。
（証明終）
確認問題
問１ 数列の極限の定義に、（１）、（２）、（３）、（４）のどの定義を採用してもよいことを示せ。
問２ 数列が収束するとき、次の数列も収束することを示せ。
（ヒント）
問３ a>0、b>0とする。このとき、次の極限値を求めよ。
問４ 
のとき、次のことを示せ。
2018-11-29 12:00
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