ものすごく初歩的なことの質問 [お前らに質問]
ものすごく初歩的なことの質問
実数全体の集合をRとし、RからRへの関数（写像）をfとする。
Rの元であるすべてのa、bに対し、
a<bならばf(a)<f(b)
をみたすとき、fは狭義単調増加関数という。
狭義単調増加関数の例
いざこと問はん、都鳥！！
残念なことに、「けものフレンズ」には（古今和歌集「名にし負はば いざこと問はん みやこどり わが思ふひとは ありやなしやと」 by 在原業平 に登場する）都鳥（ゆりかもめ）はいないので、ハシビロコウさんの動画を♪
問 fが狭義単調増加関数であるとき、
f(a)<f(b)ならばa<bである
は成り立つか。
成り立つならば証明せよ。成り立たないならば反例をあげよ。
要するに、
fが狭義単調増加関数であるとき、
か、と問うているわけだにゃ。
当たり前すぎてかえって難しいって？
往々にして、当たり前に思えることを証明することは難しいものだケロ。
こんなのチョロいぜというヒトは、次の問題に挑むにゃ。
問題
φを自然数全体の集合NからNへの狭義単調増加関数、すなわち、
とする。
このとき、すべての自然数nについて、つねに
であることを示せ。
たとえば、
とすると、φは狭義単調増加の関数になる。
だから、すべての自然数nについて
が成立しているだろう。
まぁ、φ(n)とnの差をとれば、
となること、あるいは、もっと直接的に、
などから、このことはすぐにわかるけれど・・・。
あしたの数学の記事の中で、この問題の結果をさり気なく使うんでね。
お前らごときに、深遠なこの問題の証明なんてできやしないと思うが・・・。
＞往々にして、当たり前に思えることを証明することは難しいものだケロ。
という時には、背理法や対偶をとると上手く行く事が多い、と書こうと思ったら、やっぱそういう意図でしたか(^^)。
※ さらにもっともっと初歩的、基本的なことの質問．
以下対偶関係を用いますが、（）内は背理法での書き方です。
「fが狭義単調増加とする。f(a)<f(b) ⇒ a<bである」を証明する。
b≦aなら（b≦aを仮定すれば）、fが狭義単調増加なのでf(b)≦f(a)が成り立つ（でなければならない）。従って、
b≦a ⇒ f(b)≦f(a)（f(a)<f(b)なので、これは矛盾）．
よって対偶を取り、
f(a)<f(b) ⇒ a<b（よってf(a)<f(b) ⇒ a<bが成立）．
対偶や背理法は、問われている事が（公理に近すぎて）基本的で当たり前過ぎる時に、「そうでないと変だよ」という証明法だと思います。実際に具体的に我々は、「そうやって暗黙に納得もしている」はずです。そうでないのは、無限に関する証明の時だけ(^^;)。
続きは※で・・・(^^)。
by ddtddtddt (2018-12-01 19:45)