お前らに問題 位相編 １１月２７日の解答例

お前らに問題　位相編　１１月２７日の解答例

 

fを集合Xから集合Yへの写像、すなわち、f:X→Yとする。

Xのすべての開集合Aのfによる像f(A)がYの開集合になるとき、fをXからYへの開写像という。

また、Xのすべての閉集合Aのfによる像f(A)がYの閉集合になるとき、fをXからYへの閉写像という。

 

問題１

fを実数全体の集合RからRへの写像とする。fが、x∈Rである、すべての点xに関して連続であるとき、すなわち、fが連続写像（連続関数）であるとき、fは、かならず、開写像になるか。

これが成り立つときには証明をし、成り立たないときには反例を一つあげよ。

【反例】

f:R→Rの連続関数fを次のように定める。

　　

開区間I＝（−１,１）はRの開集合であるが、fによるこの像は

　　

で、半区間で開集合ではない。

よって、連続写像（関数）は必ずしも開写像になるとは限らない。

（反例終）

 

問題２　f(x)=x²で与えられるRからRへの写像をf、A=[0,1]とする。

（１）　fによるAの像f（A)を求めよ。

（２）　を求めよ。

（３）　であるが、でないことを確かめよ。

【解答】

（１）　

（２）　f(A)=[0,1]だから、

（３）　であるが、[0,1]≠[−1,1]であるのでである。

（解答終）

 

 

ここに登場するf⁻¹はfの逆関数（逆写像）じゃ〜ないケロよ。

f:X→Yで、BをYの部分集合とする。

このとき、

　　

をみたすXの部分集合を、fによるBの逆像または原像といい、これを記号で表すにゃ。

 

 

問題３　f(x)=｜x｜で与えられるRからRへの写像をf、B=[−1,1]とする。

（１）　を求めよ。

（２）　を求めよ。

（３）　であるが、でないことを確かめよ。

【解答】

（１）　

（２）　

（３）　であるが、[0,1]≠[−1,1]であるので

（解答終）

 

（１）の結果は少し奇妙に思うかもしれないけれど、

　　

と考えると、こうなることを納得してもらえるのではないか。