第９回 連続写像

第９回　連続写像

 

連続写像

 

を位相空間とする。写像がX₁の点xで連続であるとは、位相空間における点f(x)の近傍Uのfによる逆像が常ににおける点xの近傍になることである。

また、Xのすてての点xでfが連続であるとき、fはからへの連続写像という。

 

問題　を実数直線とする。関数がxで連続であることと、

　　

をみたすことと同値であることを示せ。

【証明】

fがxで連続であるとする。任意のε>0に対して、はｆ(x)の近傍であるから、よってはxの近傍である。

よって、あるδ>0があって、

　　

すなわち、

　　

より、

　　

となるので、

　　

逆を示す。

　　

をみたすならば、f(x)の任意の近傍Uに対して、実数直線の近傍の定義より、あるε>0が存在して、

　　

となる。

このεに対して、（１）を適用すると、あるδ>0が存在し、

　　

よって、

　　

これと、を合わせると、

　　

となるから、はxの近傍。すなわち、fはxで連続である。

（証明終）

 

 

定理　を位相空間とする。写像について次の４つの条件は同値である。

（１）　fはX₁の各点で連続

（２）　X₂の任意の開集合Oのfによる逆像は、常にX₁の開集合

（３）　X₂の任意の閉集合Fのfによる逆像は、常にX₁の閉集合

（４）　X₁の部分集合Aに対して、が常に成り立つ。

【証明】

（１）⇒（４）

X₁の部分集合AとX₁の点xについて、と仮定する。

とおけば、Uは位相空間の開近傍。fがX₁の各点で連続であるから、は位相空間における点xの近傍である。

さらに、

　　

よって、点xの近傍がAと交わらないので、前回の定理３より。

対偶をとれば、

　　 　　

 

（４）⇒（３）

FをX₂の閉集合とし、とおく。（４）より

　　

が成り立つ。

Fは閉集合だから、が成り立つ。よって、。

したがって、

　　

となり、はX₁の閉集合となる。

 

（３）⇒（２）

OをX₂の開集合とし、とおく。

　　

が成り立ち、（３）より、はX₁の閉集合。よって、は開集合。

 

（２）⇒（１）

X₁の点xおよびにおけるの近傍をUとし、とおく。だから。（２）より、は位相空間におけるxの開近傍。が成り立つので、はにおける近傍。よって、写像fはXの各点xで連続である。

（証明終）

 

連続射像の例

（１）　恒等写像は連続写像

 

（２）　を位相空間とし、をその部分空間とすれば、包含写像は位相空間から位相空間への連続写像。

 

（３）　を位相空間、を写像とする。fがからへの連続写像、gがからへの連続写像であれば、合成写像はからへの連続写像である。

 

 

開写像と閉写像

 

を位相空間、f:X→Yを写像とする。

すべてのX₁の開集合Oに対してOのfによる像f(O)がX₂の開集合であるとき、fはからへの開写像、単にfはX₁からX₂への開写像という。

すべてのX₁の閉集合Fに対してFのfによる像f(F)がX₂の閉集合であるとき、fはからへの閉写像、単にfはX₁からX₂への閉写像という。

 

fがX₁からX₂への全単射であるとき、fが開写像であることと閉写像であることは同値である。

このとき、AをX₁の部分集合とすると、

　　

が成り立つ。

AがX₁の開（閉）集合、fが開（閉）写像のとき、f(A)はX₂の開（閉）集合となるので、Aの補集合は閉（開）集合の像は閉（開）集合になるためである。

 

 

同相写像

 

およびを位相空間とする。写像が全単射であり、fが位相空間からへの連続写像で、fの逆写像が位相空間からへの連続写像であるとき、fは位相区間からへの同相写像であるといい、位相空間とは同相または同相位相であるという。