全圧力などの問題

全圧力などの問題

 

全圧力とは、閉曲面Aに作用する圧力の総和のことで、力の単位を持つことに注意。

 

問題１　水中では深さxmのところの１㎡あたりの水圧はxトンである。断面が半径aの半円形の水路の鉄板を鉄板でせき止めるとき、この鉄板にかかる全圧力を求めよ。

【解】

深さxmから(x+Δx)mの間の幅の鉄板の面積をΔSとすると、

　　

であるから、この部分にかかる全圧力をΔPとすると

　　

よって、全圧力Pは

　　

ゆえに、

（解答終）

 

問題２　ダムの水の流出口として断面が放物線の形をした溝があって、いつもは水の流出を止めるために図のような放物線の形をした鉄板が水面と鉛直の位置に置かれている。水位が図のようになっている場合、この鉄板の受ける全圧力を求めよ。

【解】

1立方メートルの水の重さをwｋｇとすると、深さxmのところのにおける圧力はwkg重である。

次の図のように座標軸をとると、放物線の方程式は

　　

yの増分Δxに対する全圧力Pの増分をΔPとすると、図の水色の部分の面積ΔSは、Δxが小さいとき、

　　

と近似できるので、

　　

よって、

　　

そこで、

　　

とすると、

また、このとにx=0にはt=１、x=2にはt=0が対応するので、

　　

ゆえに、

　　

（解答終）

 

 

問題３　半径1の球体において中心からの距離がrのところの密度はであるとする。この球体の質量を求めよ。

【解】

rの増分Δrに対する体積の増分をΔV、質量の増分をΔmとすると、

　　

したがって、質量mは

　　

（解答終）