水の問題３ （微分編）

水の問題３　（微分編）

 

問題１　上面の半径が５ｃｍ、深さが１５ｃｍの円錐形の容器がある。これに毎秒８ccの割合で静かに水を注ぐとき、注ぎ始めてから３秒後の水面の広がる速さを求めよ。

【解】

ｔ秒後の深さをycm、水面の半径をxcmとすると、その時の水の体積Vcm³は

　　

また、x:y=5:15なので、

　　

よって、

　　

一方、ｔ秒後の水の量は

　　

よって、

　　

ｔ秒後の水面の面積をSとすると、

　　

よって、t=3秒後の水面の広がる速さは

　　

（解答終）

 

 

類題　曲線y=x²のy軸を軸としてできる回転面を内壁とする容器を作り、回転の軸を鉛直に保ちながら、毎秒ｖcm³ずつ水を注水する。水を入れ始めてからt秒後の

（１）　水の深さｈ　　（２）　水面の面積S　　（３）　水深の増加率　　（４）水面の面積の増加率

を求めよ。

【解】

（１）　t秒後の水の体積をVとすると、

　　

 

（解答終）

 

 

問題２　底に小さな穴があいている容器がある。その容器にx（cm³）だけ水があるとき、水の深さがであるという。

また、水の深さがh（ｃｍ）であるとき、穴から毎秒だけ水が流出するという。水面が完全な水平面で、水はあふれることはないとし、次の問に答えよ。

（１）　深さがh（ｃｍ）であるときの水面の面積をｈで表わせ。

（２）　水を静かに毎秒a（ｃｍ³）だけ注ぎ入れるとすれば、深さがｈ（ｃｍ）であるときの水面の上昇する速さは毎秒いくらか。aとｈで表わせ。

【解】

（１）　深さhのときの面積をS(h)とすると、

　　

問題の条件より

　　

よって、

 　　

（２）　時刻tにおける水の増加量dx/dtは、問題の条件より

　　

一方、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

類題　水を入れると、水の深さxcm（ｘ≧０）のとき、水面の面積がx(20−x)cm²になるような容器がある。また、この容器に水を満たしたときの水の深さは１５ｃｍである。

このとき、次の問に答えよ。

（１）　いま、この容器が、からのとき毎秒９ｃｍ³の割合で水を入れるとき９秒後水の深さは３ｃｍになることを示せ。

（２）　（１）の場合、水の深さが３ｃｍになった瞬間における水面の上昇する速さを求めよ。

【解】

（１）　深さxcmのときの水の容積をVｃｍ³とすると、

　　

毎秒９ｃｍ³の割合でこの容器に注水するので、９秒後の水の深さをｘｃｍとすると、

　　

よって、x=３ｃｍである。

 

（２）　ｔ秒後の水の深さをxcmとすると、

　　

両辺をｔで微分すると、

　　

これにx=3を代入すると、

　　

（解答終）

 

（２）は、

　　

としてもよいのでしょう。